আমার লেখার হাত অতটা ভালো না। তাই খুব একটা লিখি না। তবে এই বিষয়টা নিয়ে একটু লেখতে ইচ্ছা করল তাই শুরু করলাম। ঘটনার সুত্রপাত আমি যখন ইন্টারে উঠলাম তখন। আমাদের বইতে দ্বিপদী উপপাদ্য নামে একটা জিনিস !! পড়ানো হয় (কিংবা গলধকরন করানো হয়)। আগে সবাইকে মনে করিয়ে সেটা দেই।

$latex (a+b)^n=_{0}^{n}textrm{C} a^n +_{1}^{n}textrm{C}a^{n-1}b+cdotscdots+_{r}^{n}textrm{C}

a^nb^{n-r}+cdotscdots+_{n}^{n}textrm{C}b^n$

আচ্ছা মোটামুটি সবাই এটা জানে। কিন্তু এইখানে nCr আকারের পদগুলো যে কারও ইচ্ছা অনুযায়ী আসে নি বরং এর পেছনে যে কিছু চমৎকার কারন আছে সেটা অনেকেই জানে না। আর অতি দুর্ভাগ্যর বিষয় আমাদের পাঠ্য বইতে এইসমস্ত বিষয় কখনই পড়ানো হয় না।
এবার আসুন একটু আবার বিন্যাস-সমাবেশ মনে করিয়ে দিই। এই সমস্যাটা মুলত গনিতের যে শাখায় আলোচিত হয় তার নাম Combinatorics (এর সঠিক বাংলা পরিভাষা জানি না। তবে সত্যন বোস একবার এর বাংলা হিসাবে “মহাসমারোহ তত্ত” ব্যবহার করেছিলেন)
আচ্ছা, এখন বলুনতো “aabbbb” এটাকে ঠিক কতভাবে বিন্যাস করা যায়। উত্তর অনেকেই জানেন 6!/(2!*4!) ভাবে। (কেন এমন হল সেদিকে আর আজকে গেলাম না, সে এক আরেক ইতিহাস) আচ্ছা আরেকটা ফর্মুলা মনে করিয়ে দেই,

\(_{r}^{n}textrm{C}=frac{n!}{r!(n-r)!}\)

nCr মানে হল n সংখ্যক বস্তু হতে r সংখ্যক বস্তু কতভাবে বেছে নেয়া যায়। আপাতত এইটুকু জানলেই আমাদের চলবে।
এবার আসি আসল কথায়। ধরুন (a+b)^3 কে বিস্তৃত করতে হবে। তাহলে, আমরা যেটা করতে পারি সেটা হল (a+b)(a+b)(a+b) এই গুনটা করবো এখন সেই বাচ্চাকালের নিয়মে আগানো যাক। প্রথমে b দিয়ে

গুন শুরু করি। তাহলে পদগুলো দারায়, b.b.b+b.b.a+b.a.b+b.a.a আবার a দিয়ে গুন করলে পদ্গুলো হয়, a.b.b+a.b.a+a.a.b+a.a.a এখন বেশ মজার একটা জিনিস দেখি, “b.b.a” এই জিনিসটা এসেছে ৩ বার। মজার ব্যাপার হল এটাকে আসলে ৩ ভাবেই সাজানো যায়। 3!/2!= 3 আবার “a.a.b” কেউ ৩ ভাবে সাজানো যায়। তাহলে আসলে আমরা এখানে কি করেছি যে এমন হল ??? আসলে বিষয়টা অনেক সোজা। আমরা এখানে যখন a,b দিয়ে ধারাবাহিকভাবে গুন করছিলাম তখনি আমরা সাজানোর কাজটা করে ফেলেছি। আপনারা চাইলে (a+b)^4,(a+b)6 ইত্যাদি গুলা নিজেরা করে দেখতে পারেন। এবার আরও বড় কিছু করি। (a+b)^11 এর জন্য “b.b.b.b.a.a.a.a.a.a.a” পদটার সহগ কিভাবে বের করা যায়। আমরা ফরমুলাটা জানি। কিন্তু আমরা একটু আগেই বিন্যাস দিয়ে করা শিখেছি তাই আমরা বিন্যাস দিয়ে করবো। তাহলে সহগ হবে, 11!/(4!*6!)=330 আবার ফর্মুলাতেও কিন্তু 330 আসে।

\(_{4}^{11}textrm{C}=frac{11!}{4!(11-6)!}=330\)

অনেকেই নিশ্চয়ই বুঝে ফেলেছেন এখন ফর্মুলাটা কিভাবে আসলো। তবুও আমি দেখিয়ে দিচ্ছি। মনেকরি, (a+b)^n কে বিস্তৃত করতে হবে। তাহলে আমার কাছে প্রতি পদে a এবং b দুটো মিলিয়ে আমার কাছে মোট n সংখ্যক জিনিস থাকে এবং তাদেরকে আমরা যতভাবে সাজাতে পারি তার সঙ্খাই হবে তার সহগ। এখন মনে করি একটি পদে r সংখ্যক b আছে এবং তাহলে অবশ্যই (n-r) সংখ্যক a থাকবে। তাহলে তাদের সাজানো যাবে মোট, n!/{r!*(n-r)!} ভাবে। কিন্তু মজার ব্যাপার হল,

\(_{r}^{n}textrm{C}=frac{n!}{r!(n-r)!}\)

ব্যাস, আমাদের কাজ শেষ। এখন সবাই জানেন কিভাবে এই সহগ গুলা আসে। আমার কাছে অনেক দুঃখ লেগেছে এই দেখে যে আমাদের দেশের অনেক শিক্ষকও এই বিষয়টি জানেন না। আর আমাদের বইতে এই চমৎকার প্রমাণটি বাদ দিয়ে অনেকটা দুর্বোধ্য গানিতিক আরোহ পদ্ধতি পড়ানো হয়। গানিতিক আরোহ পদ্ধতি পড়ানো নিয়ে আমার কোনো সমস্যা নাই কিন্তু কেন আমাদের শিক্ষার্থীরা গনিতের এই সৌন্দর্য থেকে বঞ্চিত হবে। সব শেষে আমি কিছু সমস্যা দেয়ার লোভ সামলাইতে পারলাম না। গনিতের সবচেয়ে মজার অংশ হল সমস্যা সমাধান করা। আমি কিছু চমৎকার সমস্যা দিচ্ছি, আশা করি আপনারা চেষ্টা করবেন।

সমস্যাঃ
১. যারা প্যাস্কেলের ত্রিভুজ চেনেন তারা প্যাস্কেলের ত্রিভুজের একটি row এর সবগুলো সংখ্যার যোগফল বের করেন।
২. 0 থেকে 9 পর্যন্ত সকল সংখ্যা ব্যবহার করে ৬ অঙ্কের যতগুলো সংখ্যা তৈরি করা সম্ভব তাদের সকলের যোগফল বের কর।উল্লেখ্য একই অঙ্কের পুনরাবৃত্তি করা যাবে না অর্থাৎ একটা অঙ্ক মাত্র একবার ব্যাবহার করা যাবে।  (মিলন ভাইয়ের দেয়া সমস্যা)
৩. ২ নং এর সমস্যাটায় n অঙ্কের সকল সংখ্যার যোগফল কত হবে ? (Generalization)
৪. ৩নং সমস্যাটিতে পুনরাবৃত্তি গ্রহণযোগ্য হলে যোগফল কত হবে ?
৫.(a+b)^2010 এর বিস্তৃতিতে বিজোড় সহগবিশিষ্ট পদের সংখ্যা কতগুলো ? (Bangladesh Mathemtical Olympiad-2010) [Problem Setter:  অভিকরায়]

তথ্য সুত্রঃ
১. Notes on combinatorics–by Tarik Adnan Moon (Bronze Medalist from Bangladesh)
২. wkipedia articles
৩. Principles and Techniques in Combinatorics—by Chen Chuan-Chong and Koh Khee-Meng
National university of Singapore.

মন্তব্যসমূহ

  1. প্রশাসক Reply

    বিজ্ঞান ব্লগে স্বাগতম।

    কিভাবে ব্লগে গাণিতিক সমীকরণ লিখবেন?
    পদ্ধতি এক: ল্যাটেক্স ব্যবহার করা
    http://en.support.wordpress.com/latex/
    http://web.ift.uib.no/Teori/KURS/WRK/TeX/symALL.html

    পদ্ধতি দুই:
    মাইক্রোসফট ওয়ার্ডে সমীকরণ লিখে স্ক্রিন শট নিয়ে ছবি হিসেবে ব্যবহার করা

    • Zeta Function Reply

      আসলে এইখানে এইটা প্রথম পোস্ট তো তাই অনেক কিছুই বুঝি নাই। জিনিসটা সেভ করতে গিয়ে ভুল করে সাবমিট হয়ে গেছে। 🙁
      আর আমি আবারও আরেকটা লেখা রিভিউ এর জন্য পাঠিয়েছি । যাইহোক যদি Latex কাজ করে তাহলে আগামি বার থেকে আর সমস্যা নাই আশা করি।
      আর প্রশাসক আশা করি লেখাটা ঠিক করে দেবেন ? খুব ভাল হয় যদি এটা মুছে আমার নতুন সাবমিট করা লেখাটা প্রকাশ করেন। 🙂

  2. আরাফাত Reply

    আমি দেখছিলাম ল্যাটেক্স কোড কাজ করে কি না। সমীকরণের অবোধ্যতায় পড়তে খুব কষ্ট হচ্ছে। এগুলো কি একটু ঠিক করে দেবেন? আপনার কোড ঠিক আছে। শুধু আগে ল্যটেক্স আর শেষে ডলার চিহ্ন দিলেই কাজ হবে।

    • Zeta Function Reply

      এইখানে Latex কাজ করে ?????
      আমি তো জানতাম কাজ করে না ????

  3. প্রশাসক Reply

    জিটা ফাংশন আপনার ল্যাটেক্স কোডগুলো ঠিক করে দেয়া হলো। ফেসবুকের ছবির লিঙ্ক দেয়াটি ঠিক মতো হয় নি। তবে ল্যাটেক্স কোড দিয়েই সুন্দর দেখাচ্ছে। তবে শেষের সমীকরণটি বুঝতে পারছি না বেয়াড়া আচরণ করছে কেন?

    • Zeta Function Reply

      শেষের টা কোনটা ? শেষের nCr এর সমীকরণের আগেরটা কিন্তু latex এ লেখা না। 🙂
      আর আপনাকে ধন্যবাদ লেখাটা সম্পাদনা করে দেয়ার জন্য।

  4. আরাফাত Reply

    ও আচ্ছা, এই কাহিনী এইখানে!! আসলেই তো ব্যাপারটা আগে খেয়াল করি নাই!!! বাচ্চাকালের পড়াশুনা মনে করিয়ে দিলেন। মোজেজা সহ। অনেক ধন্যবাদ। আপনি কি গণিত অলিম্পিয়াডের কেউ নাকি?? এরকম ইনফর্মাল স্টাইলে আরো লেখা চাই!
    সেদিন খানস একাডেমিতে ক‌্যালকুলাস দেখছিলাম। ওরা এতো মজা করে বোঝায়, সব জলবৎ-তরলঙ হয়ে যায়॥ অথচ ইন্টারমেডিয়েটে না বুঝে যে কত সমীকরণ মুখস্ত করেছি ইয়ত্তা নেই।

    • Zeta Function Reply

      আমি গনিত অলিম্পিয়াডের তেমন কেউ না। একজন সাধারন প্রতিযোগী মাত্র। 😀
      সময় পেলে এরকম লেখা আরও লেখার চেষ্টা করবো। জানতাম না যে এখানে Latex code চলে। তবে এখন থেকে আশা করি আর সমস্যা হবে না।
      আপনাকে ধন্যবাদ
      🙂

আপনার মতামত