অসীম ধারার গল্প

নবম দশম শ্রেণীতে আমাদের অসীম ধারার সাথে পরিচয় ঘটে। বিশেষ করে গুণোত্তর ধারার সাথে পরিচয় হওয়ার দিন কয়েক পরেই আমরা শিখি যে , ½ + ¼ + ⅛ +...............=1 সাধারণভাবে এটা আমরা গাণিতিকভাবে মেনে নেই, কিন্তু কেনো অসীম পর্যন্ত নিয়ে সমষ্টি 1 পাওয়া যায়, তা বোঝার চেষ্টাও করি না। দেখা যাক আমরা কী শিখি, আমরা শিখি যে, s=½ + ¼ + ⅛ +............... উভয়পক্ষে ½ গুণ দিয়ে পাই, ½s=¼+⅛+.............. যেহেতু অসীম ধারা, বিয়োগ দিলে পাই, ½s=½ বা, s=1 আর এখানে শেষ পদ বিবেচনায় আনাই হয় নি, কারণ এই ধারার পদগুলো ক্রমশ ছোট হতে হতে অসীমে গিয়ে শুন্যের দিকে ধাবিত হবে। অর্থাৎ, এই ধারাটির অসীম সংখ্যক পদের একটি সমষ্টি আছে যার মান ১ এধরণের ধারাকে বলা হয়, অভিসারী ধারা। যাহোক, এই…
বিস্তারিত পড়ুন ...

গৌনিক ও গামাবাবুর গল্প

  গৌনিক! এটা আবার কী জিনিস? এটা আর কিছুই না, factorial এর বাংলা ! :P   n factorial কে n! দিয়ে প্রকাশ করা হয়। n! হল প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার গুনফল। তার মানে, 1!=1 2!=2 × 1=2 3!=3 × 2 × 1=6 4!=4 × 3 × 2 ×  × 1=24 5!=5 × 4 × 3 × 2 × 1=120 ...................... ............ এরকম চলতে থাকবে। খেয়াল করুন, উপরের উদাহরণ থেকে সহজেই বুঝা যায় যে, n!=n.(n-1)! এখন n=1 হলে উপরের সম্পর্কে 0! এসে পড়ে। আর এটি সংজ্ঞায়িত না। কাজেই উপরের সমীকরণ যদি n=1 এর জন্য সত্য হতে হয় তবে 0!=1 হতে হয়। এবার আমরা y=x! গ্রাফ আঁকি , এখন এই বিন্দুগুলিকে যদি আমরা smoothly যোগ করি তবে এরকম একটা গ্রাফ পাব,…
বিস্তারিত পড়ুন ...

এক চলকবিশিষ্ট বহুপদীর উৎপাদকে বিশ্লেষণ ও আমার গবেষণা

এক চলক বিশিষ্ট বহুপদী হল বীজগাণিতিক রাশি, যার প্রতিটি পদ C.xⁿ আকারের। যেখানে , n∈ℤ+, আর C হল ধ্রুব। আমার আলোচনায় n≤4 থাকবে আর C পূর্ণসংখ্যা। বহুপদীতে সসীম সংখ্যক পদ থাকবে। একটি পদ থাকলেও বহুপদী হয়। উদাহরণস্বরূপ, 2x³-3 একটি বহুপদী, এর দুটি পদ 2x³ এবং -3 বহুপদীর উৎপাদকে বিশ্লেষণ হল বহুপদীকে একাধিক বহুপদীর গুণফল আকারে প্রকাশ। এখন, n=2 হলে বহুপদীর উৎপাদকে বিশ্লেষণ আমরা সবাই জানি। তবুও একটু দেখা যাক, ax²+bx+c এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে। a,b,c এখানে পূর্ণসংখ্যা ও সহমৌলিক। এবার ax²+bx+c=0 এর মূলগুলো যদি মূলদ হয়, তবে উৎপাদকে বিশ্লেষণ সম্ভব। আর এর শর্ত b²-4ac পূর্ণবর্গ হতে হবে। এখন, ধরা যাক, 2x²-5x+2 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে। এখন, 5²-4×2×(-2)=31 যা পূর্ণবর্গ না, কাজেই উৎপাদকে বিশ্লেষণ সম্ভব না। এবার ধরি, 2x²+13x+18…
বিস্তারিত পড়ুন ...

কথা ছাড়া প্রমাণ: গণিতের সৌন্দর্য

  গণিত এক অবাক করা সুন্দরী। এর প্রতিটি বাঁকে রয়েছে অপূর্ব এক মায়া। আজ আমরা গণিতের এক ধরনের প্রমাণের কথা বলব, যার জন্য কোন কথার প্রয়োজন হয় না। শুধু ছবি থেকেই প্রমাণিত হয়ে যায়! সমীকরণের যদি প্রয়োজন হয়ও তবুও তা মাত্র কয়েক লাইন। সবচেয়ে বড় কথা হচ্ছে, এ ধরনের প্রমাণ আমাদের শেখায় কীভাবে গণিতকে অনুভব করতে হয়। গণিতের বিমূর্ত সূত্র, উপপাদ্যসমূহ তখন জীবন্ত হয়ে শিরা-উপশিরায় বইতে থাকে। এ ধরনের প্রমাণকে বলা হয় proof without words, বাংলায় কথা ছাড়া প্রমাণ। মাধ্যমিক গন্ডির শুরুতেই আমাদের সাথে পরিচয় হয় (a+b)²=a²+2ab+b² সূত্রটির! কিন্তু কয়জন তার প্রমাণ পারে? যারা পারে তাদের মধ্যে কয়জনই বা এর রহস্যময় দিকটি ধরতে পেরে সূত্রটিকে অনুভব করে? চলুন তবে proof without words এর মাধ্যমে প্রমাণটি দেখে নেই     ছবিটা…
বিস্তারিত পড়ুন ...

বোর মডেলের অন্তরালে

বোরের পরমাণু মডেলে পরমাণুতে ইলেক্ট্রন কিছু নির্দিষ্ট কক্ষপথে ঘুরে। বোর জানতেন যে রাদারফোর্ডের তত্ত্ব ব্যার্থ হয় ম্যাক্সওয়েলের তড়িৎ চুম্বক তত্ত্বের আঘাতে। বোর নিজেও এর সমাধানের পথ খুঁজে পান নি। তখন তিনি ঘোষণা দিয়েছিলেন ইলেক্ট্রন ঐসকল কক্ষপথে থাকার সময় শক্তি শোষণ বা বর্জন করে না। কেনো করে না? তার উত্তর ছিল ---- পরমাণু জগতে নাকি তড়িৎচুম্বক তত্ত্ব খাটবেই না! ব্যাপারটা জোর করে চাপিয়ে দেয়ার মতো হলেও এটি বেশ গুরুত্বপূর্ণ সিদ্ধান্ত ছিলো। তিনি নিজে প্রথম দিকে প্লাঙ্কের তত্ত্বে আস্থাশীল ছিলেন না। কিন্তু তিনি তার মডেলে বললেন যে ইলেক্ট্রন কিছু নির্দিষ্ট কম্পাঙ্কের আলো শোষণ করে বেশি শক্তিসম্পন্ন কক্ষে যেতে পারে আবার তা বর্জন করে আগের স্থানে ফিরে আসতে পারে। তিনি এসময় ভরবেগকে কোয়ান্টায়িত করে দেন। তিনি বললেন কোন কক্ষে ইলেক্ট্রনের কৌণিক ভরবেগের বেলায়…
বিস্তারিত পড়ুন ...

ত্রিমাত্রিক জ্যামিতির কিছু প্রাথমিক আলোচনা

জ্যামিতি গণিতের অত্যন্ত পুরোনো একটি শাখা। খ্রিস্টপূর্ব ২৫০০০ এর আগেও জ্যামিতির ব্যবহার ছিল। প্রথমদিকে জ্যামিতির ব্যবহার ছিল মূলত ভূমি পরিমাপে। কিন্তু আস্তে আস্তে এর বিকাশ ঘটে। প্রথমেই এক্ষেত্রে চলে আসে ইউক্লিডের নাম, যদিও ইউক্লিড একা এই জ্যামিতির প্রণেতা নন, পিথাগোরাস,আর্কিমিদিস, ব্রহ্মগুপ্ত, টলেমি প্রমুখের নামও জড়িয়ে আছে এতে। তবে ইউক্লিডই সর্বপ্রথম The elements এ এসব লিপিবদ্ধ করেন। আর আইজ্যাক নিউটন থেকে আলবার্ট আইনস্টাইন সকলেই The elements এর প্রশংসা করেছেন। যাহোক, এই ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতি আসলে বক্রতলে খাটানো যায় না। তাছাড়া ইউক্লিডের পঞ্চম স্বতঃসিদ্ধ বেশ বিতর্কিত ছিল। যাহোক, সপ্তদশ শতাব্দিতে ডেকার্তে স্থানাঙ্ক জ্যামিতির সূচনা ঘটান। অতঃপর আরও অনেক প্রকার জ্যামিতিই তৈরি হয়েছে, যার মধ্যে ডিফারেন্সিয়াল জ্যামিতি অন্যতম। বক্রপৃষ্ঠের জন্য ঐসকল জ্যামিতি বিশেষভাবে কার্যকর। যাহোক, আমরা এবার মূলত কার্টেসিয়ান জ্যামিতি ব্যবহার করে ত্রিমাত্রিক জ্যামিতি…
বিস্তারিত পড়ুন ...