গণিত

কোয়াটারনিয়ন – সংখ্যার এক অন্যভুবন

ঘড়ির ঘণ্টার কাটা ঘুরানোর কথা চিন্তা করুন। গণিতবিদেরা অনেক আগে থেকেই জানেন কিভাবে এধরনের ঘূর্ণনকে সাধারণ গুণন দিয়ে ব্যাখ্যা করা যায়। খুব সহজ, যে সংখ্যা দিয়ে কাটার অবস্থান প্রকাশ করা হল, সেটাকে আরেকটা ধ্রুবক সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে ঘুরে যাবে অবস্থান। এ ঘুর্ণন তো ছিল একটা তলে, মানে দ্বিমাত্রিক ঘুর্ণন। তাহলে এরকম সহজ উপায় দিয়ে কি ত্রিমাত্রিক ঘুর্ণনকেও ব্যাখ্যা করা যায়? এই সমস্যাটাই এক দশকের বেশি ভাবিয়েছে উইলিয়াম হ্যামিল্টনকে। তিনি ছিলেন ১৯ শতকের অন্যতম এক গণিতবিদ। সমাধান করতে গিয়ে তিনি পেলেন চার মাত্রিক এক নতুন সংখ্যা পদ্ধতি, যা সূচনা করেছে আধুনিক বীজগণিতের। 7969
বিস্তারিত পড়ুন ...

সমত্বরণে চলমান বস্তুর t-তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্রের মাত্রা সমীকরণের রহস্য

এইটা কোনো Textbook নয়। তাই মাত্রা সমীকরণ কাকে বলে, এর তাৎপর্য কী এসব আলোচনা না করে মূল জায়গায় আসি। সম ত্বরণে চলমান বস্তুর তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র হচ্ছেঃ এখানে দ্বারা তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব (সরণ), দ্বারা আদিবেগ, দ্বারা সম ত্বরণ আর দ্বারা অতিক্রান্ত সময় বোঝাচ্ছে তা আর বলার অপেক্ষা রাখে না। গতি বিদ্যায় বহুল প্রচলিত এই সূত্রের মাত্রা সমীকরণ মেলানোর চেষ্টা করেছেন কখনো? না করে থাকলে এখুনি করুন। আপনি যদি ঠিকঠাক ভাবে (আপাত দৃষ্টিতে ঠিকঠাক) করে থাকেন তাহলে আপনার বাম পক্ষে আসা উচিৎ [L] আর ডান পক্ষ । কি মাত্রা সমীকরণ মিলছে না তো !! আবার, আমরা এটাও জানি যে মাত্রা সমীকরণ না মিললে সেই সমীকরণটি বৈধ নয়। তাহলে এতদিন ধরে যে আমরা এই সূত্র ব্যবহার করে এসেছি…
বিস্তারিত পড়ুন ...

অসীম ধারার গল্প

নবম দশম শ্রেণীতে আমাদের অসীম ধারার সাথে পরিচয় ঘটে। বিশেষ করে গুণোত্তর ধারার সাথে পরিচয় হওয়ার দিন কয়েক পরেই আমরা শিখি যে , ½ + ¼ + ⅛ +...............=1 সাধারণভাবে এটা আমরা গাণিতিকভাবে মেনে নেই, কিন্তু কেনো অসীম পর্যন্ত নিয়ে সমষ্টি 1 পাওয়া যায়, তা বোঝার চেষ্টাও করি না। দেখা যাক আমরা কী শিখি, আমরা শিখি যে, s=½ + ¼ + ⅛ +............... উভয়পক্ষে ½ গুণ দিয়ে পাই, ½s=¼+⅛+.............. যেহেতু অসীম ধারা, বিয়োগ দিলে পাই, ½s=½ বা, s=1 আর এখানে শেষ পদ বিবেচনায় আনাই হয় নি, কারণ এই ধারার পদগুলো ক্রমশ ছোট হতে হতে অসীমে গিয়ে শুন্যের দিকে ধাবিত হবে। অর্থাৎ, এই ধারাটির অসীম সংখ্যক পদের একটি সমষ্টি আছে যার মান ১ এধরণের ধারাকে বলা হয়, অভিসারী ধারা। যাহোক, এই…
বিস্তারিত পড়ুন ...

বুলিয়ান বীজগণিতের গোড়ার কথা

অনেকেরই বুলিয়ান অ্যালজেব্রা নিয়ে বুঝতে সমস্যা হয়। বুলিয়ান অ্যালজেব্রায় এক আর একে কিভাবে এক হয় সে রহস্যের পর্দা উন্মোচন করতে হলে আমাদেরকে বুলিয়ান অ্যালজেব্রার একেবারে গোড়ায় যেতে হবে। প্রথমে নিচের কয়েকটা উদাহরণ দেখা যাকঃ উদাহরণ-১ আগামীকাল হয় বৃষ্টি হবে অথবা তুষারপাত হবে। এখন এত গরম যে আগামীকাল তুষারপাত হবে না। সুতরাং, আগামীকাল বৃষ্টি হবে। উদাহরণ-২ যদি আজকে শুক্রবার হয় তবে আমাকে স্কুল যেতে হবে না। আজ শুক্রবার। সুতরাং, আমাকে স্কুল যেতে হবে না। উদাহরণ-৩ আমি হয় আজকে অথবা কালকে কাজে যাব। আমি আজকে বাসায় থাকব। সুতরাং, আমি কালকে কাজে যাব। প্রত্যেক ক্ষেত্রে আমরা প্রথম দুইটা বাক্যের উপর ভিত্তি করে সিদ্ধান্তে ( তৃতীয় বাক্য ) পৌঁছেছি। এই প্রথম দুইটা বাক্যকে বলে প্রতিজ্ঞা ( অনুমান) আর তৃতীয় বাক্যটিকে বলা হয় প্রতিজ্ঞার ভিত্তিতে…
বিস্তারিত পড়ুন ...

গৌনিক ও গামাবাবুর গল্প

  গৌনিক! এটা আবার কী জিনিস? এটা আর কিছুই না, factorial এর বাংলা ! :P   n factorial কে n! দিয়ে প্রকাশ করা হয়। n! হল প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার গুনফল। তার মানে, 1!=1 2!=2 × 1=2 3!=3 × 2 × 1=6 4!=4 × 3 × 2 ×  × 1=24 5!=5 × 4 × 3 × 2 × 1=120 ...................... ............ এরকম চলতে থাকবে। খেয়াল করুন, উপরের উদাহরণ থেকে সহজেই বুঝা যায় যে, n!=n.(n-1)! এখন n=1 হলে উপরের সম্পর্কে 0! এসে পড়ে। আর এটি সংজ্ঞায়িত না। কাজেই উপরের সমীকরণ যদি n=1 এর জন্য সত্য হতে হয় তবে 0!=1 হতে হয়। এবার আমরা y=x! গ্রাফ আঁকি , এখন এই বিন্দুগুলিকে যদি আমরা smoothly যোগ করি তবে এরকম একটা গ্রাফ পাব,…
বিস্তারিত পড়ুন ...

0^0 সমান কত ?

১৯ শতকের প্রথমদিকেও গণিতবিদদের মহলে এর ব্যাখ্যা একটি বিতর্কের বিষয় ছিল। সেসময়কার অধিকাংশ গণিতবিদেরা মেনে নিয়েছিলেন । কিন্তু সমস্যা বেধেছিল, ১৮২১ সালে গণিতবিদ Cauchy কে এর মত অনির্ণেয় আকারগুলোর সাথে একই তালিকাভুক্ত করলেন। আবার ১৮৩০ এর দশকে গণিতবিদ Libri এর পক্ষে তার যুক্তি প্রকাশ করেছিলেন। সেটাও ছিল সংশয়পূর্ণ, কিন্তু আরেক গণিতবিদ Möbius তাঁকে সমর্থন দিয়েছিলেন এবং ভুলভাবে দাবি করেছিলেন যে, হলেই হয়। একজন ব্যাখাকারী (যিনি শুধুমাত্র ‘S’ দিয়ে নাম স্বাক্ষর দিয়েছিলেন) এর প্রতিউত্তরে এর উদাহরণ দিয়েছিলেন এবং ফলস্বরূপ এই বাক-বিতণ্ডা কিছু সময়ের জন্য হলেও একটু শীথিল হয়েছিল। যা হোক, অনেক তর্ক-বিতর্ক, দ্বিধা-দ্বন্দ শেষে ১৯৯২ সালে গণিতবিদ Donald Knuth এ ব্যাপারটি শক্তপোক্ত গাণিতিক যুক্তি দিয়ে সুস্পষ্ট করলেন যে, কে 1 হতেই হবে। সেই সাথে তিনি এর মান (value) এবং সীমাস্থ আকারের…
বিস্তারিত পড়ুন ...

এক চলকবিশিষ্ট বহুপদীর উৎপাদকে বিশ্লেষণ ও আমার গবেষণা

এক চলক বিশিষ্ট বহুপদী হল বীজগাণিতিক রাশি, যার প্রতিটি পদ C.xⁿ আকারের। যেখানে , n∈ℤ+, আর C হল ধ্রুব। আমার আলোচনায় n≤4 থাকবে আর C পূর্ণসংখ্যা। বহুপদীতে সসীম সংখ্যক পদ থাকবে। একটি পদ থাকলেও বহুপদী হয়। উদাহরণস্বরূপ, 2x³-3 একটি বহুপদী, এর দুটি পদ 2x³ এবং -3 বহুপদীর উৎপাদকে বিশ্লেষণ হল বহুপদীকে একাধিক বহুপদীর গুণফল আকারে প্রকাশ। এখন, n=2 হলে বহুপদীর উৎপাদকে বিশ্লেষণ আমরা সবাই জানি। তবুও একটু দেখা যাক, ax²+bx+c এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে। a,b,c এখানে পূর্ণসংখ্যা ও সহমৌলিক। এবার ax²+bx+c=0 এর মূলগুলো যদি মূলদ হয়, তবে উৎপাদকে বিশ্লেষণ সম্ভব। আর এর শর্ত b²-4ac পূর্ণবর্গ হতে হবে। এখন, ধরা যাক, 2x²-5x+2 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে। এখন, 5²-4×2×(-2)=31 যা পূর্ণবর্গ না, কাজেই উৎপাদকে বিশ্লেষণ সম্ভব না। এবার ধরি, 2x²+13x+18…
বিস্তারিত পড়ুন ...

কথা ছাড়া প্রমাণ: গণিতের সৌন্দর্য

  গণিত এক অবাক করা সুন্দরী। এর প্রতিটি বাঁকে রয়েছে অপূর্ব এক মায়া। আজ আমরা গণিতের এক ধরনের প্রমাণের কথা বলব, যার জন্য কোন কথার প্রয়োজন হয় না। শুধু ছবি থেকেই প্রমাণিত হয়ে যায়! সমীকরণের যদি প্রয়োজন হয়ও তবুও তা মাত্র কয়েক লাইন। সবচেয়ে বড় কথা হচ্ছে, এ ধরনের প্রমাণ আমাদের শেখায় কীভাবে গণিতকে অনুভব করতে হয়। গণিতের বিমূর্ত সূত্র, উপপাদ্যসমূহ তখন জীবন্ত হয়ে শিরা-উপশিরায় বইতে থাকে। এ ধরনের প্রমাণকে বলা হয় proof without words, বাংলায় কথা ছাড়া প্রমাণ। মাধ্যমিক গন্ডির শুরুতেই আমাদের সাথে পরিচয় হয় (a+b)²=a²+2ab+b² সূত্রটির! কিন্তু কয়জন তার প্রমাণ পারে? যারা পারে তাদের মধ্যে কয়জনই বা এর রহস্যময় দিকটি ধরতে পেরে সূত্রটিকে অনুভব করে? চলুন তবে proof without words এর মাধ্যমে প্রমাণটি দেখে নেই     ছবিটা…
বিস্তারিত পড়ুন ...
Older Posts →