গণিতের সৌন্দর্য: তিন-কয়েদি সমস্যা

সম্ভাব্যতার সমস্যাগুলো মাঝে মাঝে আমাদের হতবিহ্বল করে দেয়। এর আগে গণিতের সৌন্দর্য বইতে আমি জন্মদিনের সমস্যা বা মন্টিহল সমস্যা নিয়ে আলোচনা করেছিলাম সেইসব সমস্যার ফলাফল বা সেই ফলাফলের প্রমানগুলো ছিলো বেশ চমকপ্রদ। আজ তিন-বন্দী সমস্যা নিয়ে আলোচনা করব। এই সমস্যাটিও অনেকটা মন্টিহল সমস্যার মতোই তবে এই ক্ষেত্রে বিষয়টি আরো বেশি চমকপ্রদ মনে হতে পারে। ধরা যাক, একটি কারাগারে তিনজন বন্দী আছে যথাক্রমে রহিম, করিম ও সলিম নামে। এই তিনজন বন্দীর মধ্যে দুইজনকে পরদিন সকালে মৃত্যুদন্ড দেওয়া হবে। কিন্তু বন্দীদের কারো কোনো ধারনা নেই ঠিক কোন দুইজনকে মৃত্যুদন্ড দেওয়া হবে। এখন এদের মধ্যে রহিম অন্যদের চেয়ে একটু বেশি নার্ভাস। সে দুঃশ্চিন্তায় টিকতে না পেরে কাররক্ষীর কাছে গিয়ে দুইজনের মধ্যে কে মৃত্যুদন্ডের হাত থেকে বেঁচে যাবে এই বিষয়ে কিছু জানার চেষ্টা করল।…
বিস্তারিত পড়ুন ...

এনক্রিপশনঃ বিশৃংখলার শৃংখলা

একবার ভাবুন তো, আপনি কোনো এক বন্ধুকে উদ্দেশ্য করে চিৎকার করে একটা কথা বলছেন। কথাটা আপনি আর আপনার বন্ধু ছাড়া আর কেউ একবিন্দুও বুঝতে পারছে না। এমন হলে ব্যাপারটা মজার না? ....প্রাচীনকালে যখন ফোনের ব্যবস্থা ছিলো না, তখন অনেক গুরুত্বপূর্ণ তথ্য অন্যের হাতে কাগজে লিখে পাঠানো হত। এবং মাধ্যমকারী যাতে এ তথ্য পড়ে বুঝতে না পারে সেজন্য তথ্যকে এনক্রিপ্ট করে পাঠানো হত। আর প্রাপক একই উপায়ে একে ডিক্রিপ্ট করে তথ্য বুঝে নিতো। এনক্রিপশন কি? এটা বুঝার জন্য নিচের গল্পটি পড়ুন। আর যদি এতটুকুতেই বুঝে যান তাহলে এ অংশটুকু ছেঁড়ে যেতে পারেন। -সুবা আর সাদমান। খুব পছন্দ করতো সুবাকে। [নরমাল ঘটনা। আমিও করি কিন্তু মেয়েটা বুঝে না :-( ]। -সাদমান পড়তো ঢাকার একটা নামকরা কলেজে আর সুবাহ পড়তো চট্টগ্রামের একটা নামকরা কলেজে।…
বিস্তারিত পড়ুন ...

জীববিজ্ঞানে গণিতঃ এক্স, ওয়াই, জেড এবং ডবল ইউ

আমাদের দেহের গাঠনিক ও কার্যকরী একক হলো কোষ। এই কোষের মধ্যে রয়েছে নিউক্লিয়াস, নিউক্লিয়াসের মধ্যে রয়েছে ক্রোমোজোম। ধরা যাক আমাদের নিউক্লিয়াস হলো কোষের হেড অফিস। এখানে নানান তথ্য ফাইলের মধ্যে রাখা হয়েছে। ফাইলগুলো যদি জিন হয়, তাহলে কেবিনেটগুলো হলো ক্রোমোজোম। বিভিন্ন জীবের কোষীয় হেড অফিসে কেবিনেট অর্থাৎ ক্রোমোজোম সংখ্যা বিভিন্ন। গরুর ৬০, কুকুরের ৭৮ এবং মানুষের ৪৬ টা ক্রোমোজোম আছে। Ophiglossum নামের এক ফার্ন গাছের রয়েছে সবচেয়ে বেশি ক্রোমোজোম। কত ভাবেন তো? একশ? দেড়শ? জি না, ১২৬২! একটু আগেই যে বললাম মানুষের ৪৬ টা ক্রোমোজোম, এর মধ্যে ৪৪ টা হলো অটোজোম। এদের বহন করা তথ্যে জীবের লিংগ নির্ধারন সম্পর্কিত কোন তথ্য নাই। বাকী ২ টো হলো সেক্স ক্রোমোজোম। এরা কি অবস্থায় আছে তার ওপর নির্ভর করে এদের বাহক ছেলে হবে…
বিস্তারিত পড়ুন ...

গোল গোল গোলক: গোলকের ভুবন [১]

কিছু গল্প কিছু অনুধাবনঃ   মানুষের চোখের যে অংশটা নড়াচড়া করে দেখতে সাহায্য করে সে অংশটাকে বাইরে থেকে দেখলে চ্যাপ্টা আকৃতির কিছু একটা বলে মনে হয়। আসলে এটি চ্যাপ্টা নয়, গোলক আকৃতির। এই অঙ্গটিকে বলা হয় অক্ষিগোলক, এটির বেশ খানিকটা অংশ ভেতরের দিকে গ্রোথিত থাকে বলে বাইরে থেকে দেখা যায় না। এই অক্ষিগোলক যদি গোল না হতো তাহলে আমাদেরকে দেখা সংক্রান্ত ব্যাপারে মারাত্মক সমস্যার মুখোমুখি হতে হতো। এটি গোলাকার বলেই চোখকে এপাশ-ওপাশ, উপর-নিচ করা যায়। অক্ষিগোলক যদি গোলাকার না হয়ে অন্য কোনো সরল আকৃতি যেমন ঘনক বা পিরামিডের মতো হতো তাহলে কী বিদঘুটে অবস্থার মাঝেই না পড়তে হতো। সাবলীলভাবে কিছুই দেখতে পেতাম না।   চোখের পরে দেহেরই আরেক অঙ্গ হাঁটুর দিকে নজর দেই। হাঁটুর জয়েন্টগুলোতে যদি লিগামেন্টের উপস্থিতির পাশাপাশি কিছুটা…
বিস্তারিত পড়ুন ...

জীববিজ্ঞানে গণিতঃ মেন্ডেল ও মটরশুটি

আমাদের নৈসর্গিক এই মহাবিশ্বকে ব্যাখ্যা করার জন্য কিছু মৌলিক সূত্র রয়েছে, এই ধারনার সাথে আমরা সবাই অভ্যস্ত। আমরা নিজেরাই এই সূত্রগুলোর গাণিতিক প্রকাশ থেকে বিভিন্ন ঘটনা বা প্রকৃয়া যেমন একটা ফুটবলের গতিপথ, পারমাণবিক চুল্লীর চেইন রিঅ্যাকশন কিংবা মোবাইল ফোন থেকে টাওয়ারের সংকেতের আদান প্রদানে সিস্টেমের আচরনকে অনুমান করতে পারি। তবে জীববিজ্ঞানের ক্ষেত্রে এমনটা বলা কঠিন। পদার্থবিজ্ঞানে F=ma এর মত সার্বজনীন সূত্র জীববিজ্ঞানেও আছে কিনা তা আমরা এখনো জোর দিয়ে বলতে পারিনা। তবে দিন দিন এমন নজিরের সংখ্যা বাড়ছে যা ঐক্যবদ্ধ গাণিতিক নীতির কথা বলে। জীবনের পেছনে কি আসলেই কোন সুন্দর গাণিতিক গল্প রয়েছে? এই লেখায় জিনতত্বের সাথে জড়িত গণিতের সম্পর্কে সামান্য জানবো। আমরা বেশিরভাগই কোন না কোন দিক দিয়ে দেখতে শুনতে আমাদের বাবা-মা কিংবা ভাই বা বোনের মত। তবে একজন…
বিস্তারিত পড়ুন ...

গণিতর সৌন্দর্য- পর্ব ২৩: অভিপ্রেতানভিপ্রেত কাকতাল

কাকতাল বলতে কী বোঝায় আর কাকতালে কেনই আমরা বিস্ময়াভীভূত হই? অভিধান ঘেঁটে কাকতাল অর্থ পাওয়া গেল এমন: “কার্যকারণ সম্বন্ধ নাই অথচ একসঙ্গে সঙ্ঘটিত দেখিয়া মনে হয় পরস্পর সম্বন্ধযুক্ত”। এবার বিষয়টি একটু ব্যখ্যা করা যাক। ধরা যাক আপনার সাথে আপনার অফিসের বসের বেশ রাগারাগি হলো। আপনি তাঁর প্রতি বেশ অসন্তুষ্ট হওয়ায় বাসায় ফিরে ঠান্ডামাথায় সেটি নিয়ে ভাবলেন এবং পুরো বিষয়টি নিয়ে দ্বিতীয়বার বসের প্রতি অসন্তুষ্ট হলেন এবং তাঁর মৃত্যু কামনা করে বসলেন। পরদিন সকালে ঘুম থেকে উঠে অফিসে যাওয়ার প্রস্তুতি নিতে গিয়ে আপনার বসের মৃত্যু সংবাদ শুনতে পেলেন! এই ঘটনাকে আপনি কীভাবে ব্যখ্যা করবেন? আপনি হয়তো মনে করতে পারেন আপনার নিশ্চয়ই কোনো আধ্যাত্মিক মারণাত্মক ক্ষমতা আছে যার ফলে আপনি ইচ্ছে করলে যে কারো মৃত্যু কামনার মাধ্যমে তাকে মেরে ফেলতে পারেন! এই…
বিস্তারিত পড়ুন ...

কোষীয় স্বয়ংচল যন্ত্র এবং জীবনের খেলা

১৯৪৭ সালের দিকে জন ভন নিউম্যান (১৯০৩-১৯৫৭)এমন এক ধরনের যন্ত্রের কথা চিন্তা করলেন যা নিজেই নিজের প্রতিলিপি তৈরি করতে পারে । এরকম একটি যন্ত্রকে প্রয়োজনীয় জিনিস দিয়ে একটি কক্ষে ছেড়ে দিলে নিজের মতো আরেকটি যন্ত্র তৈরি করে ফেলবে তখন ঐ দুটি যন্ত্র পৃথক ভাবে আরও দুটি যন্ত্র তৈরি করবে চারটি পৃথক ভাবে আরও চারটি তৈরি করবে এভাবে বাড়তে থাকবে । এ ধরনের যন্ত্রকে এখন ভন নিউম্যান ম্যাশিন বলা হয় । এরকম নিজ প্রতিলিপি নির্মাণকারী যন্ত্রের রুপায়ন করা খুবই কঠিন তাই ভন নিউম্যান কে তার এক বন্ধু গণিতজ্ঞ স্ট্যানিসল ইউল্যাম(১৯০৯-১৯৮৪) তাকে তার নিজ প্রতিলিপি নির্মাণকারী যন্ত্রের সেলুলার স্পেস মডেল তৈরি করার পরামর্শ দিলেন । ভন নিউম্যানের সেই নিজ প্রতিলিপি নির্মাণকারী যন্ত্রের সেলুলার মডেলই ছিল প্রথম সেলুলার অটোম্যাটা (cellular automata) বা কোষীয়…
বিস্তারিত পড়ুন ...

থ্রিডি জ্যামিতি : নিম্ন মাত্রা হতে উচ্চ মাত্রায় উত্তরণ

বাস্তব জগতে আমরা যত ধরনের জ্যামিতিক বস্তুর সম্মুখীন হই তার সবগুলোই ত্রিমাত্রিক জ্যামিতিক বস্তু বা থ্রিডি জ্যামিতিক ফিগার। মাধ্যমিক ও উচ্চমাধ্যমিক পর্যায়ে যে জ্যামিতিগুলো করানো হয় তার প্রায় সবই দ্বিমাত্রিক জ্যামিতি। দ্বিমাত্রিক জ্যামিতিকে বলা হয় ইউক্লিডীয় জ্যামিতি। এই দ্বিমাত্রিক জ্যামিতির ভীত ইউক্লিড নামের একজন গণিতবিদ তৈরি করেছেন বলে এই জ্যামিতিকে ইউক্লিডীয় জ্যামিতি বলা হয়। ইউক্লিড হচ্ছেন একজন ইতিহাসবিখ্যাত গ্রীক গণিতবিদ। স্কুল কলেজে পঠিত জ্যামিতির প্রায় সবই ইউক্লিড রচিত ‘এলিমেন্টস’[1] নামের ১৩ খণ্ডের বই থেকে উৎসারিত। ইউক্লিডের এই বইটি একটা বিশেষ দিক থেকে সেরা। পৃথিবীর ইতিহাসে এটি এখন পর্যন্ত সবচে নির্ভুল বই।[2] ইউক্লিডীয় জ্যামিতির নিয়ম-নীতি শুধু দুই মাত্রার তল বা সমতল বস্তুর  মাঝে কাজ করে। চিত্রঃ ইউক্লিড ও ইউক্লিড রচিত বিশ্ববিদিত গ্রন্থ এলিমেন্টস এর ইংরেজি ও বাংলা সংস্করণ। সমতল পৃষ্ঠ ব্যাতিত…
বিস্তারিত পড়ুন ...