0^0 সমান কত ?

১৯ শতকের প্রথমদিকেও গণিতবিদদের মহলে \(0^0\) এর ব্যাখ্যা একটি বিতর্কের বিষয় ছিল। সেসময়কার অধিকাংশ গণিতবিদেরা মেনে নিয়েছিলেন \(0^0=1\)। কিন্তু সমস্যা বেধেছিল, ১৮২১ সালে গণিতবিদ Cauchy \(0^0\) কে \(\frac{0}{0}\) এর মত অনির্ণেয় আকারগুলোর সাথে একই তালিকাভুক্ত করলেন। আবার ১৮৩০ এর দশকে গণিতবিদ Libri \(0^0=1\) এর পক্ষে তার যুক্তি প্রকাশ করেছিলেন। সেটাও ছিল সংশয়পূর্ণ, কিন্তু আরেক গণিতবিদ Möbius তাঁকে সমর্থন দিয়েছিলেন এবং ভুলভাবে দাবি করেছিলেন যে, \(\displaystyle\lim_{t \to 0^{+}} f(t) = \displaystyle\lim_{t \to 0^{+}} g(t) = 0\) হলেই \(\displaystyle\lim_{t \to 0^{+}} {f(t)}^{g(t)} = 1\) হয়। একজন ব্যাখাকারী (যিনি শুধুমাত্র ‘S’ দিয়ে নাম স্বাক্ষর দিয়েছিলেন) এর প্রতিউত্তরে \({(e^{-1/t})}^t\) এর উদাহরণ দিয়েছিলেন এবং ফলস্বরূপ এই বাক-বিতণ্ডা কিছু সময়ের জন্য হলেও একটু শীথিল হয়েছিল। যা হোক, অনেক তর্ক-বিতর্ক, দ্বিধা-দ্বন্দ শেষে ১৯৯২ সালে গণিতবিদ Donald Knuth এ ব্যাপারটি শক্তপোক্ত গাণিতিক যুক্তি দিয়ে সুস্পষ্ট করলেন যে, \(0^0\) কে 1 হতেই হবে। সেই সাথে তিনি \(0^0\) এর মান (value) এবং সীমাস্থ আকারের (liming form) মধ্যে পার্থক্য করেদিলেন। নির্ধারণ করে দিলেন, \(0^0\) এর মান (the value \(0^0\)) হবে 1 যেমনটা বলেছিলেন Libri এবং \(0^0\) এর সীমাস্থ আকারকে (the limiting form \(0^0\)) অগত্যাই বলতে হবে অনির্ণেয় যেমনটা করেছিলেন Cauchy।

বোধ হয় ইতিহাস একটু বেশি হয়ে গেল যদিও গণিতবিদ Knuth এর গবেষণাপত্র আজকের এ লেখার বিষয়বস্তু নয়। এ লেখায় আমরা দেখব শিক্ষিত মহলের বিভিন্ন শ্রেণির পণ্ডিতেরা নিজেদের জ্ঞান ব্যবহার করে 0^0\((0^0)\) কে কিভাবে ব্যাখ্যা করেন। তাহলে চলুন দেরি না করে একে একে নিম্ন পর্যায় থেকে উচ্চ পর্যায়ের পণ্ডিতদের বক্তব্য শোনা (পড়া) যাক।

0^0=?

চালাক ছাত্রের বক্তব্য:

এটা তো খুব সহজ। আমি এটা জানি !

এই যে দেখুন \(x^{0} = x^{1-1} = x^{1} x^{-1} = \frac{x}{x} = 1\)

এখন আমরা এখানে \(x=0\) বসালে পেয়ে যাব, \(0^0\) এর মান হচ্ছে \(1\) !

অতি চালাক ছাত্রের বক্তব্য:

না, তুমি ভুল করেছ! গণিতে শূন্য দিয়ে ভাগ করার কোন অনুমতি নেই, আর তুমি সেই অমান্য কাজটাই করে ফেলেছ। এজন্য এটাকে সমাধান করতে হবে এইভাবেঃ

\(0^{x} = 0^{1+x-1} = 0^{1} \times 0^{x-1} = 0 \times 0^{x-1} = 0\)

এটা সত্য, কারণ যেকোন কিছুকে শূন্য দিয়ে গুণ করলে গুণফল হয় শূন্য। এর অর্থ হল \(0^{0} = 0\)

অত্যাধিক চালাক ছাত্রের বক্তব্য:

ওটাতেও কাজ হবে না। কারণ যখন \(x=0\) হয় তখন

\(0^{x-1}\) অর্থাৎ \(0^{-1} = \frac{1}{0}\)

তাই তুমিও অজান্তেই তোমার তৃতীয় ধাপে শূন্য দিয়ে ভাগ করার সেই অমান্য কাজটা করে ফেলেছ! এর চেয়ে উত্তম উপায় হবে, আমরা \(x^{x}\) ফাংশনটি নিয়ে চিন্তা করি এবং দেখি কী হয় যখন \(x\,(x>0)\) ছোট হতে থাকে।

দেওয়া আছে,

$$\begin{align*} \displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} x^{x} &= \lim_{x \to 0^{+}} e^{(\ln{x^x})} \\&= \lim_{x \to 0^{+}} e^{(x\ln{x})} \\&=e^{\small{\left(\displaystyle \lim_{x \to 0^{+} } x\ln x \right)}} \\&= e^{\small{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0^{+} } \frac{\ln x}{x^{-1}} \right)}} \\&= e^{\small{\left(\displaystyle\lim_{x \to 0^{+} } \frac{\frac{d}{dx}\ln x}{\frac{d}{dx}x^{-1}} \right)}}  \\&= e^{\small{\left( \displaystyle\lim_{x \to 0^{+} } \frac{x^{-1}}{-x^{-2}} \right)}} \\&= e^{\small{\left( \displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} -x \right)}} \\&= e^0 \\&= 1 \end{align*}$$

তাই যেহেতু \(\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} x^{x} = 1\), সেহেতু আমি বলতে পারি, \(0^{0} = 1\)।

মাধ্যমিক বিদ্যালয়ের শিক্ষকের বক্তব্য:

হ্যাঁ, তুমি ঠিক বলেছ, \(x\) এর ধনাত্বক মান যতই \(0\) এর কাছাকাছি যেতে থাকে \(x^x\) এর মান ততই \(1\) এর কাছাকাছি আসতে থাকে। কিন্তু এটা ব্যবহার করে তুমি বলতে পারবে না যে \(0^{0} = 1\) হয়। কারণ \(x\) চলকের মান \(0\) এর খুব কাছাকাছি হওয়া এবং পুরোপুরি \(0\) হওয়া একই কথা নয়। এটা দেখা যাচ্ছে যে \(0^0\) হচ্ছে অসংজ্ঞায়িত (undefined)। অর্থাৎ \(0^0\) এর কোন মানই নেই।

ক্যালকুলাস শিক্ষকের বক্তব্য:

\(x\) এর যেকোন ধনাত্বক মান \((x>0)\) নিয়ে আমরা লিখতে পারি, \(0^{x} = 0\)

অর্থাৎ \(\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} 0^{x} = 0\)

তাই, \(x\) এর মান ধনাত্বক দিক থেকে যতই শূন্যের কাছে আনা হোক না কেন, \(0^x\) এর মান শূন্যই হবে।

অপর দিকে, যেকোন বাস্তব সংখ্যা \(y \,(y \ne 0)\) এর জন্য আমি লিখতে পারি, \(y^{0} = 1\)

অতএব \(\displaystyle\lim_{y \to 0} y^{0} = 1\)

তার মানে, \(y\) এর মান যতই শূন্যের কাছে আনা হোক, \(y^{0}\) মান \(1\) কেই স্থির থাকে।

কাজেই আমরা দেখতে পাচ্ছি, \(\text f(x,y)= y^x\) ফাংশনটি \((x,y)=(0,0)\) বিন্দুতে বিচ্ছিন্ন। আরো স্পষ্ট করে বললে, যদি আমরা \(x=0\) সরলরেখা বরাবর \((0,0)\) বিন্দুর দিকে অগ্রসর হই, আমরা পাই

\(\displaystyle\lim_{y \to 0}\text f(0,y) = 1\)

কিন্তু আমরা যদি \(y=0\) (যেখানে \(x>0\)) সরলরেখা বরাবর \((0,0)\) বিন্দুর দিকে অগ্রসর হই, আমরা পাই

\(\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} f(x,0) = 0\)

কাজেই, \(\displaystyle\lim_{(x,y) \to (0,0)} y^{x}\) এর মান নির্ভর করবে আমরা কোন দিক থেকে লিমিট নিচ্ছি তার উপর। তার মানে হল \(0^0\) কে সংজ্ঞায়িত করার এমন কোন উপায় নেই যা \(y^x\) ফাংশনকে \((x,y) = (0,0)\) বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন করতে পারে।

গণিতবিদের বক্তব্য:

আমি বলছি, শূন্য টু দি পাওয়ার শূন্য এর মান হচ্ছে এক। কেন ? কারণ আমি গণিতবিদ এটা ঘোষণা করছি, তাই ! আরে মজা করছি না, এটাই সত্য।

চলুন এই সমস্যাটিকে এই সমাধানের জন্য একটি ফাংশন \(\text f(x,y) = y^x\) কে সংজ্ঞায়িত করি যেখানে, \(x\) এবং \(y\) উভয়ই ধনাত্বক পূর্ণসংখ্যা। এই ফাংশনকে বেশ কিছু পদ্ধতিতে সংজ্ঞায়িত করা যায়, যাদের সবগুলোই একই ফলাফল দেয়। উদাহরণ স্বরূপ একটা পদ্ধতি হচ্ছে,

এখানে, \(y\) কে \(x\) সংখ্যক বার পুনরাবৃত্তি করা হয়েছে। এ ক্ষেত্রে, যখন \(x=1\) তখন \(y\) কে একবার পুনরাবৃত্তি করা হয়, তাই লেখা যায়,

\(y^{x}= y^1 = 1 \times y\)

যা হোক, এই পদ্ধতিকে খুব সহজেই ধনাত্বক পূর্ণ সংখ্যা থেকে অঋণাত্বক পূর্ণ সংখ্যাতে বিস্তৃত করা যায়। তাই যখন \(x\) শূন্য, তখন বলতে পারি \(y\) কে শূন্য বার পুনরাবৃত্ত করা হল,

\(y^{0} = 1\)

যা যেকোন \(y\) এর জন্য সত্য। তাই \(y=0\) বসিয়ে আমরা পাই, \(0^0 = 1\)

দেখুন আমরা কিন্তু প্রমাণ করে ফেললাম, \(0^0 = 1\) !

কিন্তু এটা \(y^x\) কে সংজ্ঞায়িত করার শুধুমাত্র একটা সম্ভাব্য পদ্ধতি। তাহলে কী হত যদি আমি অন্যভাবে সংজ্ঞা দিতাম ? উদাহরণ স্বরূপঃ ধরুন, আমি \(y^x\) কে এভাবে সংজ্ঞায়িত করলাম,

\(y^x = \displaystyle\lim_{z \to x^{+}} y^{z}\)

কথায় বলি, এটার মানে হচ্ছে, বাস্তব সংখ্যা \(z\) ছোট হতে হতে \(x\) এর নিকটবর্তী হতে থাকলে \(y^z\) এর মান যা হয় সেটাই হয় \(y^x\) এর মান।

[বিঃদ্রঃ আগ্রহী পাঠক জিজ্ঞেস করতে পারেন, \(y^x\) কে সংজ্ঞায়িত করতে গিয়ে কিভাবে \(y^z\) ব্যবহার করা সম্ভব ? এটা তো স্ববিরোধী মনে হচ্ছে ,তাই তো ?

এটা ঠিক আছে কারণ আমরা এখানে শুধুমাত্র \(z>0\) নিয়ে কাজ করছি। তাই এক্ষেত্রে \(y^x\) সমান কত সে ব্যাপারে কেউ দ্বিমত পোষণ করবেন না আশা করি। মূলত আমরা চেনাজানা সহজ শর্ত ব্যবহার করেই একটা ফাংশন গঠন করতে যাচ্ছি যেন কঠিন শর্তে যেমনঃ \(x=0\) ও \(y=0\) তেও ফাংশনটির মান পাওয়া যাবে।]

চমৎকারভাবে, সংজ্ঞা ব্যবহার করে আমরা লিখতে পারি,

\(\displaystyle 0^0 = \lim_{x \to 0^{+}} 0^{x} = \lim_{x \to 0^{+}} 0 = 0\)

তাহলে আমরা \(0^0=1\) এর বদলে \(0^0=0\) পাচ্ছি। আমরা এই মাত্র যে সংজ্ঞাটি ব্যবহার করলাম সেটা অদ্ভুত অপ্রাকৃতিক মনে হতে পারে। কিন্তু এটা যেকোন বাস্তব ধনাত্বক সংখ্যা \(x,\, y\) এর জন্য \(y^x\) এর মান কেমন হবে সে সম্পর্কে সঠিক ধারণা দেয়। এবং সেই সাথে একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা বরাবর \(x=0\) ও \(y=0\) এর দিকে অগ্রসর হলে দেখা যায় এটা ফাংশনের অবিছিন্নতা বজায় রাখছে।

তাহলে এই ব্যাখ্যা বা সংজ্ঞার মধ্যে কোনটা সঠিক ? \(0^0\) এর সত্যিকার মান কত ? স্পষ্টভাবে, \(x>0\) ও \(y>0\) এর জন্য \(y^x\) এর অর্থ কী তা আমরা জানি। কিন্তু যখন \(x=0\) ও \(y=0\) হয়, তখন এর কোন পরিষ্কার সুস্পষ্ট অর্থ থাকে না। দেখা যাচ্ছে, \(y^x\) এর মান নির্ভর করে আমাদের পছন্দসই সংজ্ঞার উপর যেটা আমরা ঐ বিবৃতি দিয়ে বোঝাতে চাই। এবং ধনাত্বক মানের জন্য \(y^x\) এর অর্থ সম্পর্কে আমাদের যা জ্ঞান তা শূন্য মানের জন্য সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা দিতে যথেষ্ট নয়।

কিন্তু, তাই যদি হয়, তাহলে গণিতবিদেরা এত জোর গলায় কিভাবে বলছে, \(0^0=1\) ?

আসলে এর নিছক কারণটা হল এই মান নিয়ে এটা বেশি ব্যবহার উপযোগী হয়। গণিতে খুবই গুরুত্বপূর্ণ কিছু সূত্র, নীতি অস্তিত্ব হারিয়ে ফেলবে যদি আমরা বলি \(0^0\) মান শুন্য বা অসংজ্ঞায়িত। উদাহরণস্বরূপ, ধরুন একটা দ্বিপদী উপপাদ্য, যেটাতে বলা হলঃ

\(\displaystyle (a+b)^x = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{x}{k} a^k b^{x-k}\)

যেখানে \(\tbinom{x}{k}\) হচ্ছে দ্বিপদী সহগ।

এখন সমীকরণটির উভয় পাশে \(a=0\) বসিয়ে \(( b \ne 0)\) আমরা পাই,

$$\begin{align} b^x &= (0+b)^x \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \binom{x}{k} 0^k b^{x-k} \\ &= \binom{x}{0} 0^0 b^{x} + \binom{x}{1} 0^1 b^{x-1} + \binom{x}{2} 0^2 b^{x-2} + \cdots \\ &= \binom{x}{0} 0^0 b^{x} \\ &= 0^0 b^{x} \\ \end{align}$$

এখানে, আমি \(\tbinom{x}{0} = 1\) এবং \(k>0\) এর জন্য \(0^k = 0\) ব্যবহার করেছি। দেখতে পাচ্ছেন, সমীকরণের ডানপক্ষে কিন্তু সেই জাদুকরী ফ্যাক্টর \(0^0\) আছে। অর্থাৎ, আমরা এখানে যদি \(0^0=1\) না ব্যবহার করতাম, তবে উপরে লেখা দ্বিপদী উপপাদ্যটি \(a=0\) শর্তে ঠিক থাকত না। কারণ তখন \(b^x\) তো আর \(0^0 b^{x}\) এর সমান হত না।

যদি গণিতবিদদের \(0^0 = 0\) ব্যবহার করতে হত, অথবা বলতে হত \(0^0\) অসংজ্ঞায়িত, তবেও দ্বিপদী উপপাদ্য একই আকারে অব্যাহত থাকত, কিন্তু সেটা উপরে লেখা আকারের মত হত না। সেক্ষেত্রে উপপাদ্যটি খুব জটিল হয়ে পড়ত, কারণ এটাকে তখন \(k=0\) সংশ্লিষ্ট বিশেষ শর্তগুলো নিয়ন্ত্রণ করতে হত। \(0^0 = 1\) ব্যবহার করে আমরা এ বিষয়টিকে পরিষ্কার, মার্জিত ও সহজবোধ্য করতে পেরেছি।

\(0^0 = 1\) এর ব্যবহার উপযোগীতা ও গ্রহণযোগ্যতার পেছনে আরো অনেক যৌক্তিক কারণ আছে। কয়েকটা এখানে দেখানো হলঃ

  • যদি \(\text p(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^d a_n x^n\) একটা বহুপদী হয়, তবে \(\text p(0) = a_0\) হচ্ছে তার ধ্রুবক পদ – কিন্তু আমরা কোন বহুপদী লিখতেই পারতাম না যতক্ষণ না \(0^0 = 1\) হয়। সেই একই কারণে অসীম ঘাত ধারায় (infinite power series) \(d\) কে \(\infty\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা হয়।
  • অসীম জ্যামিতিক ধারার (infinite geometric series) বিশ্লেষণে,

$$\displaystyle{\begin{split} (1 – x) \sum_{n=0}^\infty x^n &= \sum_{n=0}^\infty x^n – x\sum_{n=0}^\infty x^n \\ &= \sum_{n=0}^\infty x^n – \sum_{n=0}^\infty x^{n + 1} \\ &= \sum_{n=0}^\infty x^n – \sum_{n=1}^\infty x^n \\ &= \sum_{n=0}^0 x^n \\ &= 1 \\ ∴ \sum_{n=0}^\infty x^n &= \frac{1}{1 – x} \end{split}}$$

এটা \(x=0\) সহ \(|x| < 1\) এর জন্য সম্পূর্ণভাবে বৈধ (এবং একইসাথে অবিচ্ছিন্ন), কিন্তু কেবল তখনই যখন \(0^0 = 1\)।

  • \(n = 1\) ও \(x = 0\) হলেও অন্তরীকরণের power rule \(\tfrac{d}{dx} x^n = nx^{n – 1},\, (n \ne 0)\) ঠিক থাকে, কিন্তু প্রয়োজন হয় \(0^0 = 1\)।
  • ফাংশন \(f \colon S \to T\) এর সংখ্যা \(\lvert T\rvert^{\lvert S\rvert}\) হয়, কেবল যখন \(0^0 = 1\) হয়।

গণিতে আরো অনেক প্রতিষ্ঠিত যুক্তি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় যেসব কারণে \(0^0=1\) এখন গ্রহণযোগ্য রূপ ।

প্রাণবন্ত এই ভিডিওটি দেখে হাতে-কলমে \(0^0 = 1\) উপভোগ করতে পারেনঃ

[সংগৃহীত, সংক্ষেপিত এবং অনুবাদকৃত]

৪ thoughts on “0^0 সমান কত ?”

  1. Fee Faysal Tusar

    আমি প্রমাণ গুলো দেখলাম সবই যুক্তিযুক্ত কিন্তু ০ যার বাস্তবে কোন আাকার নাই তাকে পাওয়ার করলামও ০ (০বার ০গুন)। তাই বাস্তবে আমার মনে হয় ০^০=০ হওয়া উচিত

    1. fee faysal tushar ভাই ব্যাপারটা এতো সহজে কিভাবে হয় ? শূন্য যে অদৃশ্য বা দৃশ্যমান এটা প্রমাণ করা কি মুখ্য নয় ?

আপনার মতামত

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

গ্রাহক হতে চান?

যখনই বিজ্ঞান ব্লগে নতুন লেখা আসবে, আপনার ই-মেইল ইনবক্সে চলে যাবে তার খবর।