গৌনিক ও গামাবাবুর গল্প

গৌনিক! এটা আবার কী জিনিস? এটা আর কিছুই না, factorial এর বাংলা ! 😛

n factorial কে n! দিয়ে প্রকাশ করা হয়। n! হল প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার গুনফল।

তার মানে,

1!=1

2!=2 × 1=2

3!=3 × 2 × 1=6

4!=4 × 3 × 2 ×  × 1=24

5!=5 × 4 × 3 × 2 × 1=120

………………….

…………

এরকম চলতে থাকবে। খেয়াল করুন, উপরের উদাহরণ থেকে সহজেই বুঝা যায় যে,

n!=n.(n-1)!

এখন n=1 হলে উপরের সম্পর্কে 0! এসে পড়ে। আর এটি সংজ্ঞায়িত না। কাজেই উপরের সমীকরণ যদি n=1 এর জন্য সত্য হতে হয় তবে 0!=1 হতে হয়।

এবার আমরা y=x! গ্রাফ আঁকি ,

এখন এই বিন্দুগুলিকে যদি আমরা smoothly যোগ করি তবে এরকম একটা গ্রাফ পাব, যা y=Γ (x+1) এর গ্রাফের সাথে মিলে যায় ………

এবার আমরা গামা ফাংশনের সাথে পরিচিত হব। একে Γ (n) দিয়ে প্রকাশ করা হয়। এর সংজ্ঞা নিম্নরুপ

এখান থেকে খুব সহজেই দেখান যাবে যে Γ (n+1)= n! -এর প্রমাণ আগ্রহী পাঠকের জন্য রেখে দিলাম। অন্যরা ইন্টারনেট কিংবা বই থেকে না হয় দেখে নেবেন।

এখন তাহলে বলা যায় y= Γ (x+1) এবং y=x! একই জিনিস। অর্থাৎ x!=Γ (x+1)

এখান থেকে বলতে পারি আমরা,

এখন বলুন তো 0.5!=??

Google calculator

এ দেখাবে 0.886227(approximately)

এখন আমরা দেখতে পাছছি যে n! একটি জটিল definite integral. তাহলে n ভগ্নাংশ হলে তা কিভাবে বের করব?? উত্তর হিসেবে বলব , একে Γ (x+1) আকারেই রেখে দিন, কিংবা ইন্টারনেট থাকলে google calculator বা wolfram alpha ব্যবহার করতে পারেন।

আজকের মত এখানেই রাখলাম, কেমন?

>