অসীম ধারার গল্প

পাঠসংখ্যা: 👁️ 1,258

নবম দশম শ্রেণীতে আমাদের অসীম ধারার সাথে পরিচয় ঘটে। বিশেষ করে গুণোত্তর ধারার সাথে পরিচয় হওয়ার দিন কয়েক পরেই আমরা শিখি যে ,
$$ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots \cdots = 1$$

সাধারণভাবে এটা আমরা গাণিতিকভাবে মেনে নেই, কিন্তু কেনো অসীম পর্যন্ত নিয়ে সমষ্টি $1$ পাওয়া যায়, তা বোঝার চেষ্টাও করি না।
দেখা যাক আমরা কী শিখি,
আমরা শিখি যে,  $$ s = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots \cdots $$

উভয়পক্ষে $\frac{1}{2}$ গুণ দিয়ে পাই,
$$ \frac{1}{2}s = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots \cdots $$
যেহেতু অসীম ধারা, বিয়োগ দিলে পাই,
$\frac{1}{2}s = \frac{1}{2}$ বা, $s=1$

আর এখানে শেষ পদ বিবেচনায় আনাই হয় নি, কারণ এই ধারার পদগুলো ক্রমশ ছোট হতে হতে অসীমে গিয়ে শুন্যের দিকে ধাবিত হবে
অর্থাৎ, এই ধারাটির অসীম সংখ্যক পদের একটি সমষ্টি আছে যার মান ১
এধরণের ধারাকে বলা হয়, অভিসারী ধারা।
যাহোক, এই সিরিজটিকে বাস্তবভাবে এখনও ভাবতে শেখাইনি আমি, সুতরাং একটি বর্গক্ষেত্র কল্পনা করুন, এটির ক্ষেত্রফল এক বর্গএকক।

এবার এটিকে সমান দুই ভাগ করলেন। একটি ভাগের ক্ষেত্রফল $\frac{1}{2}$ বর্গএকক।
অপর অংশটিকে আবার আরও সমান দুই অংশে ভাগ করে একটি অংশ আলাদা করলেন। এর ক্ষেত্রফল $\frac{1}{4}$ বর্গএকক।
আবার অবশিষ্ট অংশটিকে আরও সমান দুভাগ করলেন। এর ক্ষেত্রফল $\frac{1}{8}$ বর্গএকক
এভাবে আজীবন সমান দুই ভাগ করতে থাকলে যা যা টুকরা পাবেন, সবগুলো যোগ করলে কী পাবেন? আবার সেই বর্গক্ষেত্রটাই তো, তাই না? আর আমি আগেই বলেছি, পুরোটার ক্ষেত্রফল ১ বর্গএকক।
এর মানে দাঁড়ালো, $$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots \cdots  = 1$$
অর্থাৎ, আমরা পেয়ে গেলাম সেই আকাঙ্ক্ষিত সমষ্টি, অথচ কোন সূত্র ছাড়াই।
আচ্ছা, আমরা আরও জেনেছি,
$$1-1+1-1+\cdots \cdots $$
এই ধরণের সিরিজগুলোর নির্দিষ্ট সমষ্টি নেই। জোড় পদ পর্যন্ত সমষ্টি নিলে তার মান ০, আর বিজোড় ঘর পর্যন্ত নিলে সমষ্টি হল ১, অর্থাৎ অসীম পদ পর্যন্ত এই ধারার কোন নির্দিষ্ট সমষ্টি নেই।
এই ধরণের ধারাকে বলে অপসারী ধারা।
আবার একটি ধারা দেখি,
$$1+2+3+4+\cdots \cdots $$
এই ধারার প্রতিটি পদ ধীরে ধীরে বাড়ে, তাই অসীম পর্যন্ত নিলে সমষ্টিও হবে অসীম। অর্থাৎ, এটিও অপসারী ধারা।

এবার একটি মজার ধারা দেখা যাক। ধারাটি হলো-
$$H = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots \cdots $$

এই ধারার $n$ তম পদ $u=\frac{1}{n}$

$n→∞$ হলে $u→0$, তাই অনেকেই মনে করে যে এই ধারার সমষ্টি সসীম। কিন্তু প্রকৃতপক্ষে ধারার সমষ্টি অসীম!

ব্যাপারটা হলো
$1+\frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}>\frac{1}{4}$
$\frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
$\cdots \cdots$
$\cdots \cdots$
যোগ করলে,
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots > \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}+\left( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \right)+ \cdots $
বা, $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots > \frac{1}{2} + \frac{1}{2}  + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdots $.
এখানে অসমতার ডানপাশে আছে অসীম সংখ্যক $\frac{1}{2}$  আর অসীম সংখ্যক $\frac{1}{2}$  এর সমষ্টিও $∞$
অর্থাৎ, $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots =∞$

এর মানে এই ধারাটি দেখতে অভিসারী, কিন্তু আসলে অপসারী।
এ ধরণের ধারা হল হারমোনিক ধারা। $a,b,c$ হারমোনিক ধারা গঠণ করলে $\frac{1}{a}, \frac{1}{b},\frac{1}{c}$ সমান্তর ধারা গঠণ করে। যেমন, $2,3,4, \cdots $ হলো সমান্তর ধারা। তাহলে $\frac{1}{2}, \frac{1}{3},\frac{1}{4}$ হারমোনিক ধারা গঠণ করবে। আর উপরের মতো দেখানো সম্ভব, পদসমূহ ধনাত্মক এমন সব হারমোনিক ধারাই অপসারী।
এখন, আরেকটি মজার ধারা দেখা যাক।
ধারাটি হলো, $$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots \cdots$$

ধারাটিও এক ধরণের হারমোনিক ধারা। কিন্তু এটির সব পদ ধনাত্মক না। পর্যায়ক্রমে পদসমূহ ধনাত্মক ও ঋণাত্মক।
এখন, প্রশ্ন হলো, ধারাটি অভিসারী না অপসারী! উত্তর হলো, যেহেতু এই হারমোনিক ধারাটির পদগুলো পর্যায়ক্রমে ধনাত্মক ও ঋণাত্মক, তাই এটি অবশ্যই অভিসারী! অর্থাৎ এর অসীমতক সমষ্টি থাকবেই!
ব্যাপারটা চট করে বুঝে ফেলা যায়।

ধারাটিকে সাজিয়ে লেখা যায়,
$\left( 1- \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{4} \right) + \cdots \cdots $
ব্রাকেটের ভেতরের পদ সবসময় ধনাত্মক। কাজেই বলা যায় যে এর মান $0$ থেকে বড়।

আবার এটিকে এভাবেও সাজানো যায়,
$1- \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \right) – \left( \frac{1}{4} – \frac{1}{5} \right)- \cdots \cdots$

এখান থেকে দেখা যাচ্ছে যে, $1$ থেকে প্রতিবার ধনাত্মক সংখ্যা বিয়োগ হচ্ছে। তাই সমষ্টি $1$ এর চেয়ে ছোট হবে।

অর্থাৎ $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots \cdots$ এই অসীম ধারার মান $0$ থেকে $1$ এর মধ্যে।
অর্থাৎ, এটি অবশ্যই অভিসারী।

এখন, এই সমষ্টির মান কত?
মজার ব্যাপার হলো এই সমষ্টি হলো $\ln{(2)}$, যা প্রমাণ করা যায় গণিতের এক সুন্দর প্রমাণ পদ্ধতি proof without words এর মাধ্যমে। আজ আর এ নিয়ে কথা বলবো না। সবার জীবন হোক গণিতের মতো সুন্দর।