দোলকের দুলুনি: পর্যায়বৃত্ত গতি

পেন্ডুলামের পর্যায়বৃত্ত গতির জন্য এর কৌণিক বিস্তার 4° বা এর কম কেন ধরা হয়? এই বিষয়টা নিয়ে আমাদের সবারই কমবেশি ঝাপসা একটা ধারণা আছে। আজকে আমরা সেই অস্পষ্ট ধারণাটাকেই আমরা এই লেখায় ঘষামাজা করে স্পষ্ট করার চেষ্টা করব।

পর্যাবৃত্ত গতি কি?

পর্যাবৃত্তকে ইংরেজিতে বলে periodic. অর্থাৎ, নির্দিষ্ট period বা পর্যায় পর পর যা ফিরে আসে, তা-ই পর্যাবৃত্ত। সেটা যেকোনো কিছুরই পর্যায় হতে পারে। যেমন: স্থান, কাল, অথবা স্থান ও কাল উভয়ই, প্যাটার্ন ইত্যাদি। অর্থাৎ, নির্দিষ্ট ব্যবধানে কোনকিছুর পুনঃরাবৃত্তি ঘটাকেই পর্যাবৃত্ততা বলে এবং এই পুনঃরাবৃত্তি ঘটার ধর্মকে পর্যাবৃত্তিক ধর্ম বলে।

পর্যাবৃত্ত গতিতে আমাদের আলোচ্য বিষয় হলো স্থান ও কালের পর্যাবৃত্ততা। 

হ্যাঁ, স্থান ও কাল।

স্থান বা কাল না, একইসাথে দুইটাই।

পেন্ডুলাম যখন দুলে তখন এটা একটা নির্দিষ্ট সময় পরপর একটা নির্দিষ্ট স্থানে থাকে, যেটাকে বলে কালের পর্যাবৃত্ততা। কারণ একটা নির্দিষ্ট সময় পরপর একই ঘটনা ঘটছে। আবার এই পেন্ডুলামটা একটা নির্দিষ্ট দূরত্ব পরপর একই জায়গায় পুনরায় ফিরে আসে, সেটাকে বলে স্থানের পর্যাবৃত্ততা। কারণ পেন্ডুলামটা একটা নির্দিষ্ট দূরত্ব পরপর একটা নির্দিষ্ট স্থানে ফিরে আসে। আর এটাকেই কিছুক্ষণ আগে আমরা স্থানের পর্যাবৃত্ততা নামে সংজ্ঞায়িত করেছি।

ঠিক এইভাবে, একটা বস্তু যদি একটা নির্দিষ্ট সময় পরপর একটা নির্দিষ্ট স্থানকে ( যেটাকে আমরা একটা নির্দিষ্ট বিন্দু বলে থাকি) একটা নির্দিষ্ট দিক থেকে একইভাবে অতিক্রম করে, তাকে পর্যাবৃত্ত গতি বলে।

এইখানে তিনটা শর্ত খুবই গুরুত্বপূর্ণ। এগুলো হলো : 

 ১. একটা নির্দিষ্ট বিন্দুকে একটা নির্দিষ্ট সময় পরপর অতিক্রম করতে হবে।

২. একই দিক থেকে ওই বিন্দুকে অতিক্রম করতে হবে।

৩. একইভাবে বা একই অবস্থায় ( এই অবস্থা জিনিসটারই আদুরে নাম দশা) ওই বিন্দুকে অতিক্রম করতে হবে, অর্থাৎ এর বেগ, ত্বরণ এগুলার মান ও দিক ওই জায়গা অতিক্রম করার সময় একই হতে হবে।

পর্যাবৃত্ত গতির প্রকারভেদ

পর্যাবৃত্ত গতির অনেকগুলা প্রকারভেদ আছে। যেমন:

১. পর্যাবৃত্ত গতি ( periodic motion): এইক্ষেত্রে শুধু স্থান ও কালের পর্যাবৃত্ততার শর্ত প্রযোজ্য হবে। এইক্ষেত্রে সাম্যাবস্থা থাকতেও পারে নাও থাকতে পারে।

২. স্পন্দন গতি ( vibratory motion): এইক্ষেত্রে নতুন একটা শর্ত যুক্ত হবে আগের সংজ্ঞাটার সাথে। সেটা হলো : একটা সাম্যাবস্থা থাকবে। সেইটার সাপেক্ষে  কণাটা সামনে পিছনে কাঁপাকাপি করবে ( যেটাকে to and fro motion/ back and forth motion বলে) । তবে এইক্ষেত্রে যে জিনিসটা সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সেটা হলো এইক্ষেত্রে “কাঁপাকাপির ফ্রিকোয়েন্সি অনেক বেশি হবে”।

৩. দোলন গতি (oscillatory motion): এইক্ষেত্রে স্পন্দন গতির সংজ্ঞার সাথে নতুন শর্ত যুক্ত হবে না। এইক্ষেত্রে যে জিনিসটা মাথায় রাখতে হবে সেটা হলো এইক্ষেত্রে “কাঁপাকাপির ফ্রিকোয়েন্সি তুলনামূলক  কম হবে”। এই গতি তিন ধরনের হতে পারে: undamped oscillatory motion, damped oscillatory motion, forced oscillatory motion। 

৪. সরল দোলন গতি (simple harmonic motion): এইক্ষেত্রে একটা বিশেষ শর্ত যুক্ত হবে আগের সংজ্ঞাটার সাথে। সেটা হলো এইক্ষেত্রে “মোট শক্তি সংরক্ষিত”  থাকবে । একটু আগেই যে তিনটা প্রকারভেদ দেখলেন দোলন গতির, এটা সেই তিনটারই একটা। এটা হলো, undamped oscillatory motion। দোলন গতির তিনটা প্রকারভেদের মধ্যে কেবল এটারই মোট শক্তি সংরক্ষিত থাকে, বাকিগুলোর থাকে না।

পেন্ডুলামের পর্যাবৃত্ত গতি

পেন্ডুলামে পর্যাবৃত্ত গতি, দোলন গতি, আর সরল দোলন গতি – এই তিন ধরনের গতিই সম্ভব। কীভাবে?

পর্যাবৃত্ত গতি যে আছে সেটা তো উপরেই ব্যাখ্যা করলাম। এখন, একটা দোলক যখন দুলে তখন দেখবেন যে এর ফ্রিকোয়েন্সি তুলনামূলকভাবে কম থাকে। তাই এর গতি দোলন গতি।

আবার, পেন্ডুলামের গতি সরল দোলন গতিও। কারণ, এইক্ষেত্রে এর মোট শক্তি সংরক্ষিত থাকে। একটা পেন্ডুলামের শক্তি দুই প্রকার। একটা গতিশক্তি, আরেকটা বিভবশক্তি। বিভবশক্তি আসে মহাকর্ষ বল থেকে, আর গতিশক্তি আসে বেগ থেকে। এই দুইটার যোগফল সবসময় সমান হবে অর্থাৎ ধ্রুব হবে।

পেন্ডুলামের যে গতির জন্য আমাদের প্যাঁচ লাগে সেটা হলো সরল দোলন গতি। 

সরল দোলন গতির মালমশলা

সরল দোলন গতি নিয়ে জানার আগে এই সম্পর্কিত কয়েকটা টার্ম বা শব্দ কি বুঝায় সেটা জেনে নেয়া ভালো।

১. প্রসঙ্গ কাঠামো: যে বস্তু/বিন্দুর সাপেক্ষে কোন কিছুর অবস্থান নির্ণয় করা হয়, তা-ই হলো প্রসঙ্গ কাঠামো। ধরেন, একটা বস্তু আপনার থেকে উত্তর দিকে ৪ মিটার দূরে আছে। এইযে আপনি বললেন আপনার থেকে, এটাই হলো রেফারেন্স ফ্রেম। অর্থাৎ, যেই বস্তু/বিন্দুর সাপেক্ষে অপর কোন বস্তু/বিন্দুর অবস্থান নির্ণয় করা হয় সেটাই একটা রেফারেন্স ফ্রেম। এইখানে আপনি ছিলেন রেফারেন্স ফ্রেম। আবার বস্তুটাকে রেফারেন্স ফ্রেম ধরলে আপনি সেটা থেকে দক্ষিণ দিকে মানে উলটা দিকে ৪ মিটার দূরে থাকতেন।

এখানে একটা কথা খুবই গুরুত্বপূর্ণ। সেটা হলো, সব বস্তু নিজের রেফারেন্স ফ্রেমে স্থিতিশীল। কারণ কোন বস্তু হতে তার নিজের দূরত্ব সবসময় শূন্য হবে। তাই, তার অবস্থানও পরিবর্তন হবে না এবং বেগ হবে শূন্য। সে হবে স্থিতিশীল। 

২. দশা: একটা সরল দোলন গতিসম্পন্ন কণা/বস্তুর বেগ, ত্বরণ,অবস্থান ইত্যাদি যা যা তথ্য আছে সবগুলারে একসাথে দশা বলে।

৩. দশা কোণ: একটু আগে বলা দশাকে পরিমাপ করার জন্য একধরনের কোণ ব্যবহার করা হয়, যেটা দেখতে সাধারণ কোণের মতই, কিন্তু কাজ অনেক। এইটাক সাধারণত রেডিয়ানে লেখা হয়। এই কোণটাকে দেখে আপনি ওই পর্যাবৃত্ত গতিসম্পন্ন কণা/বস্তুর বেগ,অবস্থান,ত্বরণ থেকে শুরু করে যা যা তথ্য আছে সব বলে দিতে পারেন। এটাকে ওই কণাটার ডিএনএ-র মত ভাবতে পারেন। খালি এইটাকে ডিকোড করা অনেক সহজ:)।

৪.আদিদশা: কোন সরল দোলন গতিসম্পন্ন কণা/বস্তুর দোলনের যে সময় থেকে সময় গণনা শুরু করা হয়, সেই সময়ে অর্থাৎ, সময় শূন্য থাকাকালীন সময়ে, ওই কণা/বস্তুটার যে দশা থাকে তাকে তার আদিদশা বলে। 

 ধরেন, আপনি একটা পেন্ডুলামকে দুলতে দেখতেসেন। এখন আপনি যেকোন সময় স্টপওয়াচে সময় ধরে সময় হিসাব করতে পারেন। যখন হতে সময় হিসাব শুরু করবেন ওই মুহূর্তে কণাটার যে দশা থাকবে, সেটাই আদিদশা।

৫. আদিদশা কোণ: আদিদশাকে যে দশাকোণ দিয়ে প্রকাশ করা হয়, সেটাকেই আদিদশা কোণ বলে। এটাকে δ দিয়ে লেখা হয়

৬. পূর্ণস্পন্দন: একটা সরলদোলন গতিসম্পন্ন কণা যদি এর যাত্রা তার নিজের রেফারেন্স ফ্রেমের সাপেক্ষে যেকোন বিন্দু হতে শুরু করে আবার একই দশায় ওই বিন্দুতেই ফিরে আসে, তবে এই ঘটনাটাকে একটা পূর্ণস্পন্দন বলে। এইখানে একটা কথা খুবই গুরুত্বপূর্ণ। সেটা হলো, ওই বিন্দুতে দশা কিন্তু অবশ্যই এক হতে হবে। কেবল বেগ, ত্ব্রণ ইত্যাদির মান একই হলে হবে না, এদের দিকও একই হতে হবে।

৭. পর্যায়কাল: যে নির্দিষ্ট সময় পর সরল দোলন গতিসম্পন্ন কোন কণা/বস্তু তার প্রসঙ্গ কাঠামোর কোন বিন্দু হতে যাত্রা শুরু করে সেই প্রসঙ্গ কাঠামোর ওই বিন্দুতেই একই দশায় ফিরে আসে, সেটাকে পর্যায়কাল বলে। এইক্ষেত্রেও একই দশা কথাটা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। এটাকে T দিয়ে সাধারণত লেখা হয়।

৮.ফ্রিকোয়েন্সি: এইযে একটু আগে বললাম, একটা সরল দোলন গতিসম্পন্ন কণা/বস্তু যে পরিমাণ সময়ে একটা পূর্ণস্পন্দন সম্পন্ন করে, সেটাকে পর্যায়কাল বলে।ফ্রিকোয়েন্সি হচ্ছে তার উলটা জিনিস। অর্থাৎ, একটা পর্যাবৃত্ত গতিসম্পন্ন কণা/বস্তু একক সময়ে যে কয়টা পূর্ণস্পন্দন দিতে পারে, সেটাকে ঐ বস্তুর ফ্রিকোয়েন্সি বলে। অনেকে বলে ফ্রিকোয়েন্সি কখনো ভগ্নাংশ হতে পারেনা। কথাটা ভুল। ফ্রিকোয়েন্সি ভগ্নাংশও হতে পারে। ভগ্নাংশ হলে বুঝায়, বস্তুটা একটা পুরো স্পন্দন সম্পন্ন করতে পারেনি। এর একটা অংশ সম্পন্ন করেছে। এটাকে  $f$ দিয়ে লেখা হয়।

৯. কৌণিক বেগ: আমরা এতদিন বেগের যে সংজ্ঞা পড়ে এসেছি, সেটা হলো রৈখিক বেগের সংজ্ঞা, যেটাকে স্কেল দিয়ে মাপা যায়। বেগের আরেকটা প্রকার হলো কৌণিক বেগ, যেটাকে চাঁদা দিয়ে মাপা যায়। রৈখিক বেগে যেমন রৈখিক অবস্থান পরিবর্তন হতো, তেমনি কৌণিক বেগে কৌণিক অবস্থানের পরিবর্তন ঘটে। যখন কোন বস্তু ঘুরে বা বাঁক নেয়, তখন যাকে কেন্দ্র করে ঘুরে তার সাপেক্ষে প্রতি একক সময়ে এর কৌণিক অবস্থানের যে পরিবর্তন ঘটে, তাকে এর কৌণিক বেগ বলে। এটাকে $ω$ (গ্রিক লেটার ওমেগা) দিয়ে লিখা হয়। এইটা ধ্রুব নাও থাকতে পারে এমনকি সকল সরল দোলন গতির জন্যও এটা থাকাটা জরুরী নয়।

১০. প্রত্যয়নী বল: সরল দোলন গতিসম্পন্ন কণা/বস্তুকে যে বল তার অবস্থানের উল্টাদিকে ফিরিয়ে আনতে চায়, সেটাকেই প্রত্যয়নী বল বলে।

১১. সাম্যাবস্থান: সরল দোলন গতিসম্পন্ন কণা/বস্তুর একটা পূর্ণস্পন্দনের সময় যে অবস্থানে থাকলে এর উপর কোন প্রত্যয়নী বল কাজ করেনা, সেই অবস্থানটাকে বলে সাম্যাবস্থান। এই অবস্থায় বেগ সর্বোচ্চ হয়, এবং প্রত্যয়নী বল কর্তৃক ত্বরণ শূন্য হয়।

১২. বিস্তার: সরল দোলন গতিসম্পন্ন কোন কণা/বস্তুর এর সাম্যাবস্থান হতে যেকোনো একদিকে সর্বোচ্চ যে সরণ ঘটে, সেটাকে এর বিস্তার বলে। এটাকে $A$ দিয়ে লেখে।

যেমন, পেন্ডুলামের জন্য দেখা যায় এটা মাঝখানের অবস্থান হতে একপাশে অনেকখানি সরে যায়। এরপর আবার ওই অবস্থান হতে উলটাদিকে ফেরত আসতে থাকে। ওইযে একদিকে অনেকখানে সরে যায়, সেটাতে যেটুকু সরে, সেটাই হলো বিস্তার। এখানে বেগ শূন্য হয় এবং ত্বরণ সর্বোচ্চ হয়।

১৩.কৌণিক বিস্তার: কোন সরল দোলন গতিসম্পন্ন কণার গতির সাথে যদি কৌণিক গতিও থাকে, তাহলে কণাটি এর সাম্যাবস্থান থেকে সর্বোচ্চ যে কৌণিক দূরত্বে থাকতে পারে, সেটাকে ঐ কণার কৌণিক বিস্তার বলে।

যেমন: পেন্ডুলাম যখন দুলে তখন এটি মাঝখানের সাম্যাবস্থানের সাথে কোণও উৎপন্ন করে। দোলনের সময় এই কোণের সর্বোচ্চ মান, অর্থাৎ সর্বোচ্চ যতটুকু কৌণিক দূরত্বে পেন্ডুলামটি থাকতে পারে, সেটাই, ঐ দোলনের জন্য ঐ পেন্ডুলামের কৌণিক বিস্তার। কৌণিক বেগের মত এটাও থাকতেও পারে, নাও থাকতে পারে। 

১৪. কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি: সরল দোলন গতিসম্পন্ন কোন বস্তু/কণার দশা কোণের পরিবর্তনের হারকে কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি বলে। সরল দোলন গতির ক্ষেত্রে এটা সবসময় ধ্রুব থাকে।

এটাকেও গ্রিক লেটার $ω$ দিয়ে লিখা হয়। কিন্তু কৌণিক বেগ আর কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি সম্পূর্ণ আলাদা জিনিস।

কেবলমাত্র বৃত্তাকার পথে সমকৌণিক বেগে ঘূর্ণায়মান বস্তু/কণার জন্য কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সির মান একই হয়।

কিন্তু সকল সরল দোলন গতিতে সমকৌণিক বেগ থাকে না।

সরল দোলন গতির বৈশিষ্ট্য  

সরল দোলন গতি যে পর্যাবৃত্ত গতির একটা সাবক্লাস, সেটা তো কিছুক্ষণ আগেই বললাম। এইবার একটু বিস্তারিত জানা যাক।

সরল দোলন গতির জন্য প্রধান শর্তগুলো হলো, 

১. এইটাকে পর্যাবৃত্ত গতি হতে হবে।

২. এটাকে সরলরৈখিক হতে হবে। (এইটা কেবল স্থানিক সরল দোলন গতির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।অনেকেই দ্বিমত পোষণ করবে। এইটার কারণও আমি ব্যাখ্যা করব)

৩. এইটার জন্য একটা সাম্যাবস্থা থাকতে হবে যেটার দুইপাশে সরলরৈখিক পথে এটা দুলবে।

৪. এটার মোট শক্তি সংরক্ষিত থাকবে।

৫. এখানে ন্যুনতম একটা বল থাকবেই। একাধিক বলও থাকতে পারে।

৬. এখানে  একটা প্রত্যয়নী বল থাকবেই। এই প্রত্যয়নী বলের কাজ হলো কোন বস্তুর আকার আকৃতি পরিবর্তন হলে সেটাকে আগের অবস্থায় ফিরিয়ে আনা। যদি কেবল একটাই বল থাকে তবে সেটাকে অবশ্যই এই প্রত্যয়নী বক হতে হবে।

৭. এখানে শক্তির অপচয় ঘটে এমন কোন বল থাকা যাবেনা।

৮. এটার দশাকোণের পরিবর্তন অর্থাৎ কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি অবশ্যই ধ্রুব হতে হবে।

৯. এটার ত্বরণ সবসময় একটা নির্দিষ্ট বিন্দু অভিমুখী হবে।

১০. যেহেতু $a \propto -x$ এবং $x$ সবসময় একটি সরলরেখার উপর অবস্থান করবে, তাই ত্বরণ $a$-ও সবসময় একই সরলরেখার উপর অবস্থান করবে।

এই পুরোটাকে আপনি একটা গাণিতিক শর্ত দিয়ে লিখতে পারবেন।

সেটা হলো,  $ x^” \propto -x $  [x হলো সরণ]

যেটা লিখলাম সেটা জেনারেল ফর্ম। অনেকে এইটাকে সরাসরি ত্বরণ দিয়ে লেখেন যেটা আসলে ভুল। ( কারণটা হলো ত্বরণ সবসময় বেগের পরিবর্তন বুঝায়। কিন্তু সরল দোলন গতি একটা খুবই জেনারেল জিনিস। সেইখানে বেগের পরিবর্তন হতে পারে, আবার অন্য কিছুরও পরিবর্তন হতে পারে। তাই এটাকে আসলে একটা ফাংশনের সেকেন্ড ডেরিভেটিভ হিসাবে লেখা উচিৎ। )

সমীকরণের সমাধান

( সংবিধিবদ্ধ সতর্কীকরণঃ ডিফারেন্সিয়েশন ও ইন্টিগ্রেশনের বেসিক আইডিয়াগুলা না জানলে এই টপিক স্কিপ করে পরের টপিকে চলে যান, সমস্যা হবেনা)

উপরে যে সমীকরণটা লিখেছি ওইটা একটা ডিফারেন্সিয়াল ইকুয়েশন। পেন্ডুলামের জন্য দুইটা এমন ডিফারেন্সিয়াল ইকুয়েশন থাকে।

এগুলা হলো:

১. কৌণিক সরণের জন্য। যেটাকে নিম্নোক্তভাবেও লেখা যায়:

                     $ θ^” \propto – θ $  [ যেখানে, $θ^”$ হলো কৌণিক ত্বরণ আর $θ$ হলো কৌণিক সরণ]

যেহেতু, $θ”$ হলো কৌণিক ত্বরণ যাকে $α$ দিয়ে লেখা হয়, সুতরাং,

                    $  α\propto -θ$

২. রৈখিক সরণের জন্য। এখানের জন্য ইকুয়েশনটা নিম্নের মত হয়:

          $ x” \propto -x $ [  $x”$ হলো রৈখিক ত্বরণ, আর $x$ হলো রৈখিক সরণ ]

যেহেতু, $x^”$ কে $a$ দিয়েও লিখে, তাই,

              $ a\propto -x $

এইখানে ডিফারেন্সিয়েশনটা করা হয় সময়ের সাপেক্ষে। এইকারণে আমরা রৈখিক সরণ ও কৌণিক সরণের ফাংশন থেকে রৈখিক ত্বরণ এবং কৌণিক ত্বরণের ফাংশন পাই। কারণ যেকোন সরণকে ফাংশনকে সময়ের সাপেক্ষে ডিফারেন্সিয়েশন করলে বেগ এবং সরণের ফাংশনকে দুইবার বা বেগের ফাংশনকে একবার ডিফারেন্সিয়েশন করলে ত্বরণ পাওয়া যায়।

তাহলে ইকুয়েশনগুলা হয় অনেকটা নিচের মতো।

$ \frac{d^2\theta}{dt^2} \propto -\theta \quad \text{(1)} $

$ \frac{d^2x}{dt^2} \propto -x \quad \text{(2)} $

এখন আমরা $2$ নাম্বার ইকুয়েশনটা সমাধান করব। এটা সলভ করলে একইভাবে আপনি $1$ নাম্বারটা সলভ করতে পারবেন।

$2$ নাম্বার ইকুয়েশনটাকে সমানুপাতিক চিহ্ন উঠালে একটু অন্যরকমভাবেও লিখা যায়।

$ \frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 x \quad \text{(3)} $ [ এখানে যেহেতু যেকোনো ধ্রুবক আনা যায় তাই আমরা $ω^2$ টাকে আনলাম। এই $ω$ টা হলো কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি। এখন, এটাকেই কেন আনলাম সেটা একটু পরে আমরা দেখব ]

তো এখন $3$ নাম্বার সমীকরণ সমাধানের পালা:

$2 \frac{dx}{dt} \frac{d^2x}{dt^2} = 2 \frac{dx}{dt} (-\omega^2 x)$ [ 3 নং সমীকরণের উভয়পক্ষকে $2 \frac{dx}{dt}$ দিয়ে গুণ করে]

$\Rightarrow \frac{d}{dt} \left( \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 \right) = \frac{d}{dt} \left( -\omega^2 x^2 \right)$

$\Rightarrow \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 = -\omega^2 x^2 + c_1 \quad \text{(4)}$ [উভয়পাশে t এর সাপেক্ষে ইন্টিগ্রেশন করে। এখন উভয়পাশেই $c$ থাকে। দুইটা $c$ মিলে যোগ-বিয়োগ করে নতুন constant $c_1$ তৈরি করে]

এখন, আমরা জানি কোন সরল দোলন গতি সম্পন্ন কণার বিস্তারে এর বেগ শূন্য হয়। অর্থাৎ, $x=A$ হলে

 $\frac{dx}{dt} = v = 0$ হবে।

$4$ নং-এ এই শর্তগুলো বসিয়ে পাই, 

 $0 = -\omega^2 A^2 + c_1$

$\Rightarrow c_1 = \omega^2 A^2 \quad \text{(5)}$

$4$ নং-এ $5$ নং হতে প্রাপ্তমান বসিয়ে পাই,

$\left( \frac{d}{dt} x \right)^2 = -\omega^2 x^2 + \omega^2 A^2$

$\Rightarrow \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 = \omega^2(A^2 – x^2)$

$\Rightarrow \frac{dx}{dt} = \pm \omega \sqrt{A^2 – x^2}$

$\Rightarrow \pm \frac{dx}{\sqrt{A^2 – x^2}} = \omega dt$

$\Rightarrow \pm \int \frac{dx}{\sqrt{A^2 – x^2}} = \omega \int dt$

$’+’ $ হলে আমরা পাই,

$\arcsin\left(\frac{x}{A}\right) = \omega t + c_2 \quad \text{(6)} $

$ ‘-‘ $ হলে আমরা পাই,

$\arccos\left(\frac{x}{A}\right) = \omega t + c_2 \quad \text{(7)}$

এইখানেও সব constant যোগবিয়োগ করে $c_2$ পাই।

এখন, ধরি সময় যখন গণনা শুরু করা হয়, অর্থাৎ সময় যখন $0$ থাকে, তখন কণাটা এর সাম্যাবস্থান থেকে $x_0$ দূরত্বে থাকে। তাহলে $6$ আর $7$ নং এ $t=0$ আর $x=x_0$ বসিয়ে পাই,

$\arcsin\left(\frac{x_0}{A}\right) = c_2 \quad \text{(8)}$

$\arccos\left(\frac{x_0}{A}\right) = c_2 \quad \text{(9)}$

একটু চেনা চেনা লাগে? 

হ্যাঁ, এটাই সেই আদিদশা কোণ।

তাহলে,

$\arcsin\left(\frac{x_0}{A}\right) = c_2 = \delta$ এবং

$\arccos\left(\frac{x_0}{A}\right) = c_2 = \delta$

তাহলে $6$ ও $7$ এ $c_2$ এর মান বসিয়ে পাই

$\arcsin\left(\frac{x}{A}\right) = \omega t + \delta$

$\Rightarrow x = A \sin(\omega t + \delta) \quad \text{(10)}$

এবং

$\arccos\left(\frac{x}{A}\right) = \omega t + \delta$

$\Rightarrow x = A \cos(\omega t + \delta) \quad \text{(11)}$

এখানে, $sin$ আর $cos$ এর পর প্রথম বন্ধনীর ভিতরে যে কোণ আছে, আদিদশা কোণসহ, পুরোটাকেই দশা কোণ বলে।

এখন কথা হচ্ছে আমরা যে দুইটা সমীকরণ পেলাম কোনটা ঠিক?

উত্তর হলো, দুইটাই ঠিক।

$sin$ এর সূত্র আমরা ব্যবহার করব যখন, সময় গণনা শুরুর পর বস্তুর সরণ ধনাত্মক দিকে ঘটতে থাকে, অর্থাৎ সাম্যাবস্থান থেকে সরণের পরিমাণ বাড়তে থাকে। আর $cos$ এর সূত্র আমরা ব্যবহার করব, যদি সময় গণনা শুরু করার পর থেকে বস্তুর সরণ ঋণাত্মক দিকে ঘটতে থাকে অর্থাৎ, সরণের পরিমাণ যদি কমতে থাকে।

 এখন, $x” = -\omega^2 x$ লেখার কারণটাও দেখে নেয়া যাক।

আচ্ছা, ধরেন আমি $\omega^2$ না এনে একটা র‍্যান্ডম ধ্রুবক $k$ আনলাম। তাহলে সমীকরণটা কি দাঁড়ায়?

$x = A \sin{(\sqrt{k}t+\delta)}$ আর $x = A \cos{(\sqrt{k}t+\delta)}$

এখন, তিনটা প্রশ্নের উত্তর দেন।

১. সরল দোলন গতির কোন রাশিটা সর্বদা ধ্রুব থাকে?

২. কোন রাশিটার সাথে সময় গুণ করলে কোণের একক পাওয়া যায়? 

৩. সরল দোলন গতির দশা কি দিয়ে বুঝি?

আচ্ছা, এবার তাহলে উত্তরগুলো বুঝাই।

১ এর উত্তর কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি।

২ এর উত্তর কৌণিক বেগও হতে পারে, আবার কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সিও হতে পারে। কিন্তু কৌণিক বেগ সকল সরল দোলন গতির জন্য থাকা বাধ্যতামূলক নয়। কিন্তু সমীকরণে ধ্রুবকটা সবসময় থাকবে। তাহলে এটার উত্তরও কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি।

৩ এর উত্তর হলো দশা কোণ। যেহেতু, $δ$ নিজে দশা কোণ, তাই এর সাথে কেবলমাত্র দশা  কোণেরই যোগ/বিয়োগ করা সম্ভব। তাই $\sqrt{k}t$ এর মানও দশা কোণ বুঝাবে। আর $\sqrt{k}$ যেহেতু ধ্রুবক তাই এটাকে অবশ্যই কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি হতেই হবে।

তাহলে, $\sqrt{k} = \omega$

       $\Rightarrow k = \omega^2$

তাহলে আশা করি বুঝতে পেরেছেন কেন উপরের $3$ নাম্বার সমীকরণে অবশ্যই ধ্রুবক হিসাবে $\omega^2$ কে-ই বসতে হবে। 

Final act: 4° এর ব্যবচ্ছেদ

আমরা প্রথমে সরল দোলন গতিসম্পন্ন কণার অবস্থানের সমীকরণ দুইটা লেখি।

$x = A \sin(\omega t + \delta)$

$x = A \cos(\omega t + \delta)$

আসেন এইবার এই দুইটার গ্রাফ আমরা একটু দেখি।

$x = A \sin(\omega t + \delta)$ এর গ্রাফ অনেকটা নিচের মত:

আর, $x = A \cos(\omega t + \delta)$ এর গ্রাফটা অনেকটা নিচের মত:

এইখানে $x$ অক্ষ বরাবর আছে সময় আর $y$ অক্ষ বরাবর আছে সরণ।

এখন ভালোভাবে খেয়াল করেন, সরণটা কেবল $y$ অক্ষ বরাবর ঘটেছে। সাম্যাবস্থানটা আছে $x$ অক্ষে। অর্থাৎ, $x$ অক্ষে সরণ শূন্য। এবার, ছবিটার দিকে তাকিয়ে দেখেন সরণ কেবল $x$ অক্ষের উপরে ও নিচে হচ্ছে। অর্থাৎ, আপনি একবার একদিকে যাচ্ছেন আরেকবার তার উল্টাদিকে যাচ্ছেন। একবার পশ্চিমে যাচ্ছেন, আবার পূর্বে যাচ্ছেন। একবার দক্ষিণে যাচ্ছেন, আবার যাচ্ছেন উত্তরে। 

অর্থাৎ, আপনি আপনার রেফারেন্স ফ্রেমে কেবল দুই দিকে যেতে পারবেন। ধনাত্মক দিকে আর ঋণাত্মক দিকে। তাহলে আপনার সরণটা কয়মাত্রিক? 

একদম ঠিক ধরেছেন, একমাত্রিক।

তাহলে আপনার এই একমাত্রিক সরণটা কেমন হওয়া উচিত?

হ্যাঁ, আবারো ঠিক ধরেছেন। সরলরৈখিক। একদম সংখ্যারেখার মত। সংখ্যারেখায় যেমন আপনি কেবল ধণাত্মক আর ঋণাত্মক দিক ছাড়া সরলরৈখিক পথে  অন্যকোন দিকে যেতে পারেন না, সরল দোলন গতিও তেমনি যেতে পারেন না।

আরো ভালোভাবে বুঝার জন্য এখানে ক্লিক করুন।

(বিদ্র: ভেক্টরের একদম বেসিক জিনিসপাতি না জানলে এই প্রশ্নটা এড়িয়ে যান।)

এখন অনেকেই জিজ্ঞাসা করতে পারেন, ভাই অনেকসময় তো পেন্ডুলাম শুধু সামনে পিছনে ঘুরে না, পাশেও দুলে। তখন?

হ্যাঁ, সেটাও সম্ভব এবং তাহলে দুইটা ঘটনা সম্ভব।

১. হয় এটা একাধিক অক্ষ বরাবর পর্যাবৃত্ত গতি সম্পন্ন করছে। অর্থাৎ, আপনি যদি সকল অক্ষ বরাবর এর সরণের উপাংশ নেন, তাহলে দেখবেন সেগুলা প্রত্যেকটা ওই নির্দিষ্ট অক্ষ বরাবর নিজস্ব নিয়মে সরল দোলন গতি আছে। এইখানে অক্ষ দুইটা হলে 3D গ্রাফে আপনি সময় আর দুইটা অক্ষ বসিয়ে গ্রাফ প্লট করতে পারবেন। তাও সেটা যথেষ্ট কঠিন হবে। কারণ তখন একটা নতুন প্যারামিটার সেট করা লাগতে পারে আলাদা আলাদা অক্ষের জন্য। আর যদি তিনটা অক্ষ বরাবরই সরল দোলন গতি থাকে, তাহলে কমপ্লেক্স ফাংশন আনা লাগবে, যেখানে সময়কে পাঠাইতে হবে কাল্পনিক অক্ষে। এটা আরো পেইনফুল। ( complex function এর ব্যাপারটা এইখানে সুন্দর করে বুঝাইসে)

২. নাহলে, কোন অক্ষ বরাবর-ই সরল দোলন গতি নাই।

তাহলে কি বুঝলেন? 

সরল দোলন গতির জন্য পথ সরলরৈখিক হওয়াটা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। এখন সরল দোলন গতিটা যদি রৈখিক গতির জন্য না হয়ে কৌণিক গতির জন্য বা কোন প্যাটার্নের জন্য হয়, তাহলে সেটার পথ সরলরৈখিক হওয়াটা জরুরী নয়। কারণ, সেখানে পথের উপর কিছুই নির্ভর করেনা। করে কোণ/প্যাটার্নের উপর। তাই পথ যেকোন কিছুই হতে পারে। কিছুক্ষণ আগে যে বললাম অনেকেই দ্বিমত পোষণ করবে, তারা মূলত এখানেই দ্বিমত পোষণ করে।

এখন, পেন্ডুলামের বব(পেন্ডুলামের অগ্রভাগে ঝুলানো ভর) যখন নড়াচড়া করে, তখন এটা সোজা পথে চলতে হলে পেন্ডুলামটার কৌণিক বিস্তার $4^\circ$ হতে কম হতে হয়।

এই লিংকটাতে ক্লিক করে ভিডিওটা দেখে নিতে পারেন।

কিন্তু পেন্ডুলামের বব যদি $4^\circ$ অপেক্ষা বেশি বেঁকে যায়, তাহলে এর বক্রতা বেশি বেশি হয়ে যায়। ফলে এর হিসাব-নিকাশে বিচ্যুতি বা ভুল বেশি দেখা দেয়।

এই লিংকটাতে ক্লিক করে ভিডিওটা দেখে নিতে পারেন।

উপরের দুইটা ভিডিওতে যে হলুদ পয়েন্টারটা দেখতে পাচ্ছেন, সেটা হলো ত্বরণ। এটার মান ত্বরণের মানের সমানুপাতিক(অর্থাৎ এটা বড় হলে ত্বরণের মান বেশি হবে আর ছোট হলে ত্বরণের মান কম হবে) আর দিক হলো ত্বরণের দিক।

প্রথম ভিডিওতে দেখতে পাচ্ছেন, যখন কৌণিক বিস্তার $4^\circ$ এর চেয়ে কম, তখন ত্বরণটা একটা সরলরেখার উপর আছে। কিন্তু দ্বিতীয় ভিডিওটাতে দেখতে পাচ্ছেন, যখনই বিস্তার $4^\circ$ এর চেয়ে বেশি হয়ে গেল, তখনই ত্বরণও আর একটা সরলরেখার উপর থাকেনা।

তাই, কৌণিক বিস্তার $4^\circ$ এর বেশি হয়ে গেলে পেন্ডুলামের পথ সরলরৈখিক না থাকায় ও ত্বরণ একই সরলরেখার উপর অবস্থান না করায়, এটি সরল দোলন গতির সূত্র যথাযথভাবে মানে না। তাই পেন্ডুলামের কৌণিক বিস্তার সবসময় $4^\circ$ এর কম রাখা হয়।

( এখানে একটা কথা বলে রাখা ভালো, $4^\circ$ কোণটা সম্পূর্ণ আপেক্ষিক। আপনি কতটুকু বিচ্যুতি নিয়ে হিসাব করলে আপনার হিসাবে ঝামেলা হবেনা সেটা একান্তই আপনার ইচ্ছা।)

আশা করি এবার বুঝতে পেরেছেন, কেন পেন্ডুলামের কৌণিক বিস্তার $4^\circ$ এর কম ধরা হয়।