ক্লাসিক্যাল মেকানিক্স পর্ব-১: নিউটনের গতিসূত্রের ইতিহাস

আমরা স্কুলে ক্লাস নাইনে ওঠার পরপরই নিউটনের গতিসূত্রের সাথে পরিচিত হই। ১৬৮৭ সালে প্রকাশিত Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica বইতে ব্রিটিশ বিজ্ঞানী স্যার আইজ্যাক নিউটন তিনটি গতিসূত্র প্রকাশ করেন, যা পদার্থবিজ্ঞানের ইতিহাসে অত্যন্ত গুরুত্ববহ একটি ঘটনা।

নিউটনের তিনটি গতিসূত্রই মূলত বিন্দু ভর (point mass) এর জন্য। বিন্দু ভর মানে এর কোন সাইজ নেই, এটি একটি বিন্দু যার ভর আছে। পুরো ব্যাপারটাই তাত্ত্বিক, কেননা এরকম কোন কিছু আমরা আশে পাশে দেখি না। কিন্তু এই বিন্দু ভরের একটা গাণিতিক সুবিধে আছে। একটা বড় বস্তুতে বল প্রয়োগ করলে কোথায় বল প্রয়োগ করেছি তার ওপর সবকিছু নির্ভর করে। বলের প্রভাবে অনেক সময় বস্তু ঘুরে, অনেকসময় বিকৃত হয়, এরকম অনেকরকম ঝামেলা আছে। বিন্দু ভরে এমন ঝামেলা নেই। আপনি সরাসরি বল প্রয়োগ করবেন, আর কোন ঝামেলা নেই।

তো পাঠকের মনে প্রশ্ন জাগতেই পারে, তাহলে নিউটনের সূত্র ব্যবহার করে লাভ কী? লাভ আছে বৈকি। আপনি চাইলে যেকোন বৃহৎ বস্তুকে অনেকগুলো বিন্দু ভরের সমষ্টি ভাবতে পারেন। এরপর গণিত ব্যবহার করে যেকোন বস্তুর জন্য গতিসূত্রের জেনারেল আকার দাঁড় করিয়ে ফেলতে পারেন। যাইহোক, আমি লেখার সুবিধার্থে বস্তু বলতে এই লেখায় বিন্দু ভরই বুঝাবো।

নিউটনের গতিসূত্র তিনটি কিন্তু নিউটনের একার আবিষ্কার নয়। নিউটনের গতির প্রথম সূত্রটি মূলত গ্যালিলিও এর, নিউটনও তাঁকেই প্রথম সূত্রের পুরো ক্রেডিট দেন। এজন্য নিউটনের প্রথম সূত্রকে অনেকসময় গ্যালিলিও এর জড়তার সূত্র বলা হয়। এই সূত্র বলে কোন বস্তুর ওপর বাহ্যিক বল প্রয়োগ না করলে তার বেগের পরিবর্তন হয় না। এর মানে হলো বস্তুর জড়তা (inertia) নামক একটি ধর্ম আছে, যা বল প্রয়োগ না করলে বস্তু ধরে রাখে। বস্তু যদি স্থির থাকে তবে বল প্রয়োগ না করলে বস্তু চিরকালই স্থির থাকবে। আবার বস্তু গতিশীল হলে কোন বল না থাকলে চিরকালই একই বেগে চলতে থাকবে। এখান থেকে আমরা বল আসলে কী তার ধারণা পাই। বল হলো তা যা বস্তুর গতীয় অবস্থার পরিবর্তন ঘটায়।

নিউটনের প্রথম সূত্র বা জড়তার সূত্র কিন্তু সকল প্রসঙ্গ কাঠামোতে (Reference frame) খাটে না। প্রসঙ্গ কাঠামো কী? প্রসঙ্গ কাঠামো মানে হলো আমরা যেটা সাপেক্ষে গতি মাপছি, যার সাপেক্ষে আমি স্থির। উদাহরণস্বরূপ, আমি রাস্তায় দাঁড়িয়ে থাকলে রাস্তা আমার সাপেক্ষে স্থির। পাশে কোন বাস গেলে তার গতি আমি এই রাস্তা সাপেক্ষেই মাপবো। এই রাস্তা তাহলে রেফারেন্স ফ্রেম। যে বাসে বসা তার কাছে বাস আবার রেফারেন্স ফ্রেম। এখন কথা হলো এই জড়তার সূত্র সবখানে খাটবে কিনা।

ধরা যাক আপনি একটি চলমান বাসের ভেতরে বসা। বাস যদি হঠাৎ ব্রেক চাপে তাহলে আপনি সামনের দিকে ঝুঁকে পড়বেন। এখন আপনি বাসের ভেতর বাস সাপেক্ষে স্থির ছিলেন। আপনার ওপর কোন বল প্রয়োগ করা হয় নি, তাও আপনি কেন সামনে ঝুঁকে পড়লেন? নিউটনের প্রথম সূত্র অনুসারে আপনার ওপর কোন বাহ্যিক বল না থাকলে আপনার আজীবন স্থির থাকার কথা। তাহলে কি নিউটনের প্রথম সূত্র ভুল?

আসলে নিউটনের প্রথম সূত্র সব ফ্রেমে খাটে না। যেসব ফ্রেমে এই জড়তার সূত্র খাটে তাকে আমরা বলি জড় প্রসঙ্গ কাঠামো বা সংক্ষেপে ইনারশিয়াল ফ্রেম (inertial frame), আবার অনেকসময় ‘গ্যালিলিয়ান ফ্রেম’ও ডাকা হয়। যেসব ফ্রেমে ত্বরণ হয়, সেসব ফ্রেমে নিউটনের সূত্র খাটে না।

এখন আপনি যদি আপনার নন-ইনারশিয়াল ফ্রেমে জোর করে নিউটনের গতিসূত্র খাটাতে চান, তবে আপনাকে কিছু কল্পিত বলের আশ্রয় নিতে হবে। যেমন ব্রেক চাপার সময় আপনি একটি বল কল্পনা করতে পারেন, যা আপনাকে সামনের দিকে ধাক্কা দিচ্ছে। আপনি জানেন, এই বল শুধু আপনার ফ্রেমেই আছে আর আর কাউকে এই বলের কথা বললে সে বিশ্বাস করবে না। এই কল্পিত বলগুলোকে বলা হয় ইনারশিয়াল ফোর্স।

আমরা জানি পৃথিবী তার নিজ অক্ষের চারদিকে লাটিমের মত ঘুরছে। ঘুরলে বেগের দিক পরিবর্তন হয়। বেগ একটি ভেক্টর রাশি, কাজেই এর দিক পরিবর্তন হবার মানে প্রতি মুহূর্তে বেগ পরিবর্তন হওয়া। কাজেই এখানে ত্বরণ হচ্ছে। এর ফলে পৃথিবী কোনমতেই ইনারশিয়াল ফ্রেম নয়। কাজেই, পৃথিবী যে ঘুরছে এটা আমরা পৃথিবীতে বসেই বুঝে ফেলতে পারি। পৃথিবীর ফ্রেমেও কিছু ইনারশিয়াল ফোর্স কাজ করছে। আমরা সেগুলো চাইলেই মাপতে পারি।

কয়েকটা উদাহরণ দেই, আমরা সাধারণভাবে কোন বস্তুকে কোণাকোণি নিক্ষেপ করলে বস্তুকে প্যারাবোলিক পথে যেতে দেখি। আমরা সাধারণত দেখি এই গতিপথ একই সমতলে থাকে।

কিন্তু কী হয় যদি বেশ বড় পরিসরের বেগ দেয়া হয়? সেক্ষেত্রে এই গতিপথ আর একই সমতলে থাকে না। পৃথিবীর আহ্নিক গতির জন্য দূরপাল্লার মিসাইলগুলোতে এক ধরনের ইনারশিয়াল ফোর্স কাজ করে, যাকে বলা হয় কোরিওলিস ফোর্স। এই বলের হিসেব ঠিকভাবে বিবেচনায় না আনায় প্রথম বিশ্বযুদ্ধে ব্রিটিশদের অনেক ক্ষয় ক্ষতি হয়েছিল। তারা দক্ষিণ আমেরিকার কাছে জার্মান শিপে আক্রমণ করতে হাজার হাজার মিসাইল ছুঁড়েছিল, যেগুলো হিসেবের এই মারাত্মক ভুলের জন্য সাগরে পতিত হয়!

এই কোরিওলিস বলের জন্যই দুই গোলার্ধে ঘূর্ণিঝড় দুই দিকে ঘোরে।

অনেক প্রথমসূত্র নিয়ে আলোচনা হলো। এই সিরিজের পরের লেখাগুলোতে এটি নিয়ে আরো বিস্তারিত আলোচনা থাকবে। বিশেষত দুটি গ্যালিলিয়ান ফ্রেমের মাঝে সম্পর্ক, যা গ্যালিলিয়ান ট্রান্সফর্মেশন নামে পরিচিত, তা নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা থাকবে। এখন নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রের দিকে যাওয়া যাক।

নিউটনের গতির দ্বিতীয় সূত্রটি মূলত এরিস্টটলের এর ধারণার পরিবর্তিত রূপ। এরিস্টটল মনে করতেন কোন বস্তু যতো বেশি ভারী তাকে সরাতে ততো বেশি বল লাগে। এরিস্টটল ভাবতেন বস্তুর স্বাভাবিক প্রবৃত্তি হলো স্থির থাকা। তাই কোন বস্তু যতো বেশি বেগে গতিশীল থাকতে চায় তার ততো বেশি বল লাগবে। এরিস্টটলের এই ধারণা আমাদের কমনসেন্স এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ। কিন্তু বিজ্ঞানে একটি কথা আছে:

Common sense is the collection of prejudices acquired by age eighteen.

— Albert Einstein

এরিস্টটল গাণিতিক কোন নোটেশন জানতেন না। জানলে তাঁর গতিসূত্র অনুসারে বল একইসাথে ভর ও বেগ, তথা ভরবেগের সমানুপাতিক হতো। এরিস্টটল পিচ্ছিল বরফে গড়িয়ে পড়া কোন বস্তুর গতি হয়তো দেখেন নি। তাহলে তিনি বুঝতে পারতেন একবার পিচ্ছিল বরফে যা গতিশীল হয় তাকে সহজে থামানো যায় না।

কাজেই স্থিতি, গতি দুটোই বরং স্বাভাবিক প্রবৃত্তি। এই জায়গায় গ্যালিলিও কোন ভুল করে নি। আর এখান থেকেই নিউটন বুঝে গেলেন, বলের কাজ ভরবেগ বজায় রাখা নয়, বরং ভরবেগ পরিবর্তন করা। যত দ্রুত যত বেশি ভরবেগ পরিবর্তন করতে চাই, তত বেশি বল দিতে হবে। আর এই জায়গাটাতেই নিউটন সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ পরিবর্তন আনেন। তিনি বলেন কোন বিন্দুভরের ওপর প্রযুক্ত বল তার ভরবেগের পরিবর্তনের হারের সমানুপাতিক।

এখন নিউটন যদি তাঁর গতিসূত্র বিন্দু ভরের জন্য না দিয়ে একটি সিস্টেমের ওপর দিতেন, তাহলে কিছু অতিরিক্ত সুবিধে হতো। আমরা বাহ্যিক বলের একটা ধারণা পেতাম। আপনি কখনো খেয়াল করেছেন, ঠেলাগাড়িতে ভেতরে বসে যতোই নাচানাচি করা হোক, গাড়ি চলেই না! অবশ্যই বাইরে থেকে কোন না কোন বল দিতে হয়। কোন সিস্টেমের ভেতর যাই থাকুক, এরা নিজেদের ভেতর যতোই সংঘর্ষ করুক, পুরো সিস্টেমের বাইরে থেকে বল না দিলে পুরো সিস্টেম এর মোট জড়তার পরিবর্তন হবে না। কাজেই বাহ্যিক বলই কেবল কোন সিস্টেমের মোট ভরবেগের পরিবর্তন ঘটাতে পারে। যদি বাহ্যিক বল না দেয়া হয় তাহলে সিস্টেমের মোট ভরবেগ পরিবর্তিত হবে না, কাজেই মোট ভরবেগ অপরিবর্তিত থাকবে। এটাই কিন্তু ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র!

আমরা কিন্তু বেশ চমৎকার একটি বিষয় দেখে ফেললাম! বস্তু কণার বদলে পুরো সিস্টেম নিয়ে কাজ করলে দ্বিতীয় সূত্র থেকেই ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র চলে আসে। ১৬৭০ সালে আরেক ব্রিটিশ গণিতবিদ ওয়ালিস ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র আবিষ্কার করেন, এবং তা নিউটনের জানা ছিল। কিন্তু তিনি বিন্দু ভর দিয়ে হিসেব নিকেষ করায় বুঝতেই পারেন নি যে এটি আসলে দ্বিতীয় সূত্রেরই একটি অনুসিদ্ধান্ত।

নিউটন এটা বুঝতে পারছিলেন, সিস্টেমের ভেতর কিছু একটা ঘটায় বাহ্যিক বলই কেবল সিস্টেমের ভরবেগ পরিবর্তন করে, এবং অভ্যন্তরীণ বলগুলো কাটাকাটি হয়ে যায়। তাই তিনি তাঁর তৃতীয় সূত্রটি দেন, যেখানে বলা হয়- “কোন বস্তু অন্য কোন বস্তুর ওপর বল প্রয়োগ করলে সেও বিপরীত দিকে একটি সমমানের বল পায়”। নিউটন তাঁর তৃতীয় সূত্রের মাধ্যমেই ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র প্রমাণ করেন।

চিত্রে A ও B একটি বাক্সে বন্দী। বাক্সের ভেতরে থাকা A,B মারামারি করছে। এখানে A, Bকে যা বল দিবে তা কেবল B অনুভব করবে। আর তার প্রতিক্রিয়া বল কাজ করবে A এর ওপর। আবার B, Aকে যা বল দিবে তা কেবল A পাবে, আর প্রতিক্রিয়া বল পাবে B.

পুরো বাক্স কিন্তু কোন বাহ্যিক বল পাবে না। এমনকি যদি বাক্সের দেয়ালে A,B ধাক্কাও দেয় তাহলেও কোন লাভ হবে না। বাক্স তখনই সরবে যখন বাক্সের বাইরে থেকে F ফোর্স দেয়া হবে। কেননা পুরো বাক্স হলো সিস্টেম, এবং এর ভেতরে সব বলের জন্যই একটা করে প্রতিক্রিয়া বল আছে এবং এরা সমান ও বিপরীত। তাই পুরো বাক্সকে সিস্টেম ধরা হলে এই ক্রিয়া প্রতিক্রিয়া একই জায়গায় ক্রিয়া করে এবং কাটাকাটি গিয়ে কোন বাহ্যিক বল থাকে না।

কিন্তু যখন আমি শুধু A বা B নিয়ে কথা বলবো তখন কোন বল কাটা যাবে না, কেননা ক্রিয়া প্রতিক্রিয়া একইসাথে শুধু A বা শুধু B তে কাজ করে না। এইটুকু ঠিকমত বুঝে গিয়ে থাকলে আপনি নিউটনের সূত্র বেশ ভালোভাবে বুঝে ফেলেছেন!

নিউটনের তৃতীয় সূত্র বর্তমানে আর কোথাও ব্যবহৃত হয় না। কেননা একে তো এটি আসলে জেনারেলাইজড দ্বিতীয় সূত্রের একটি অনুসিদ্ধান্ত, তার ওপর ভরবেগের সংরক্ষণ নীতি বরং সবক্ষেত্রে কাজ করে। যেমন আপনি যদি হালকা পাতলা ইলেক্ট্রোডিনামিক্স জানেন তবে হিসেব করে দেখতে পারেন, দুটি চার্জের মধ্যকার চুম্বক বল পরস্পর বিপরীতই হয় না!

যাদের কীভাবে এই দিক বের করা হলো তা বুঝতে সমস্যা হচ্ছে তাদের জন্য আমি সামান্য গণিত ব্যবহার করবো। আমি ধরে নিচ্ছি আপনার ক্রস গুণনের বেসিক ( $\vec A \times \vec B = – \vec B \times \vec A$ এবং $ \hat \imath \times \hat \jmath = \hat k,\, \hat \jmath \times \hat k = \hat \imath, \,\hat k \times \hat \imath= \hat \jmath$ ) জানেন।

কোন নির্দিষ্ট সময়ে দুটি একক ধনাত্মক চার্জ $q_1, q_2$ যথাক্রমে $-\hat \imath$ ও $-\hat \jmath$ বরাবর যাচ্ছে। তাহলে $q_1$ থেকে $q_2$ এর দূরত্ব ভেক্টর $\vec{r}_{12}$ কাজ করছে $(-\hat \imath + \hat \jmath)$ বরাবর। আর $q_2$ থেকে $q_1$ এর দূরত্ব ভেক্টর $\vec{r}_{21}$ কাজ করে $-\vec{r}_{12}$ বা $(\hat \imath – \hat \jmath)$ বরাবর। তাহলে $q_1$ এর জন্য $q_2$  এর ওপর ম্যাগনেটিক ফিল্ড কাজ করে $q_1$ এর বেগ এবং $\vec{r}_{12}$ এর ক্রসগুণনের দিক বরাবর (যেহেতু উভয় চার্জ ধনাত্মক)। তাহলে, $q_1$ এর জন্য $q_2$ এর ওপর ম্যাগনেটিক ফিল্ড $\vec{B}_{12}$ কাজ করে $(-\hat \imath) \times(-\hat \imath + \hat\jmath)= – \hat k$ বরাবর।

একইভাবে $q_2$ এর জন্য $q_1$ এর ওপর ম্যাগনেটিক ফিল্ড $\vec{B}_{21}$ কাজ করে $(-\hat \jmath) \times(\hat \imath – \hat\jmath)= \hat k$ বরাবর। যেহেতু উভয় চার্জ ধনাত্মক তাই ম্যাগনেটিক ফিল্ড $\vec{B}$ এর অধীনে $q$ চার্জ ফোর্স পায় $q$ এর বেগ ও $\vec{B}$ এর ক্রসগুণের দিকে। কাজেই $q_2$ চার্জ ফোর্স পাবে $(-\hat \jmath) \times (-\hat k)= \hat \imath$ বরাবর আর $q_1$ চার্জ ফোর্স পাবে $-\hat \imath \times (\hat k)= \hat \jmath$ বরাবর।

তার মানে দাঁড়ালো চুম্বক বল এক্ষেত্রে বিপরীত দিকে নয় বরং লম্বদিকে কাজ করছে! আসলেই এইক্ষেত্রে নিউটনের তৃতীয় সূত্র না খাটলেও ভরবেগের নিত্যতা ঠিকই কাজ করে। বিস্তারিত আলোচনায় যাব না, তবে এইক্ষেত্রে আসলে ইলেক্ট্রোম্যাগনেটিক রেডিয়েশন হয় যা হিসেব মিলাতে যে ভরবেগ লাগে তা বহন করে।

অনেক লম্বা লেখা হয়ে গেল। আজ এখানেই থাকলো। আপনাদের কোন মতামত থাকলে জানাতে ভুলবেন না।

রেফারেন্স:

1. The Theoretical Minimum: What You Need to Know to Start Doing Physics by L. Susskind
2. Classical Mechanics by John R. Taylor
3. Wikipedia ( history of inertia and momentum )
4. Scientific American article on Coriolis