উপরের মিমের দাবিটি অদ্ভুত: ‘এমন একজন মানুষ আছেন যে, যদি তিনি ঢাকায় থাকেন, তবে সবাই ঢাকায় থাকেন।’
শুনে মনে হতে পারে, এ আবার কীভাবে সত্য হয়! এমন একজন মানুষ আবার কে? তাঁর ঢাকায় থাকার সঙ্গে অন্য সবার ঢাকায় থাকার সম্পর্কই বা কী? কিন্তু আগের পর্বের conditional statement-এর নিয়ম ব্যবহার করেই কথাটি প্রমাণ করা যায়। সেই প্রমাণে যাওয়ার আগে আমরা ‘একজন’ আর ‘সবাই’ কথাগুলোকে একটু গুছিয়ে লিখব। তারপর দেখব, প্রমাণটিতে কোন নিয়মগুলো কাজে লাগছে।
আগের পর্বে আমরা ‘শুভ ঢাকায় থাকে’ ধরনের statement নিয়ে কথা বলেছিলাম। কিন্তু এবার যদি বলি ‘x ঢাকায় থাকে’, তাহলে x কাকে বোঝাচ্ছে, তা না জেনে কথাটির নির্দিষ্ট সত্যমান বিচার করা যাবে না। এই ধরনের শর্তকে আমরা predicate বলি। একটি নির্দিষ্ট সময় এবং ‘ঢাকায় থাকা’ কথাটির নির্দিষ্ট অর্থ ধরে লিখি,
D(x) := ‘x ঢাকায় থাকেন।’
এখানে := দিয়ে বোঝাচ্ছি, বাঁয়ের প্রতীকটিকে ডানের অর্থে সংজ্ঞায়িত করছি। D(x)-তে x এখন একটি মুক্ত চলক বা free variable; x-এর জায়গায় নির্দিষ্ট কাউকে বসিয়ে একটি proposition পাওয়া যায়। আবার x-কে নিয়ে ‘সবার জন্য’ বা ‘অন্তত একজনের জন্য’ বলেও একটি সম্পূর্ণ দাবি করা যায়।
তবে তার আগে ঠিক করতে হবে, আমরা কাদের নিয়ে কথা বলছি। যে সমষ্টির সদস্যদের নিয়ে আলোচনা করছি, সেটিকে বলি domain of discourse। ধরা যাক, সেটি U, এই লেখায় U-তে অন্তত একজন মানুষ আছেন বলে ধরে নিচ্ছি।
‘U-এর সবাই ঢাকায় থাকেন’ লিখব:
∀ প্রতীকটির অর্থ ‘সবার জন্য’ বা ‘প্রত্যেকের জন্য’। একে বলে universal quantifier. আর ‘U-এর অন্তত একজন ঢাকায় থাকেন’ লিখব:
∃ প্রতীকটির অর্থ ‘এমন অন্তত একজন আছেন’ বা ‘এমন অন্তত একটি বস্তু আছে’। একে বলে existential quantifier। খেয়াল করুন, অন্তত একজন মানে ঠিক একজন নয়। দুজন থাকলেও দাবিটি সত্য, সবাই থাকলেও সত্য।
এখানে ∈ মানে কোনো সমষ্টির সদস্য হওয়া। ফলে x ∈ U কথাটি বলছে, x আমাদের আলোচ্য সমষ্টির একজন সদস্য।
Quantifier-এর ক্রমও গুরুত্বপূর্ণ। যেমন ℕ দিয়ে প্রাকৃতিক সংখ্যার সমষ্টি বোঝালে,
এর অর্থ, প্রত্যেক প্রাকৃতিক সংখ্যার চেয়ে বড় আরেকটি প্রাকৃতিক সংখ্যা আছে। এটি সত্য। যেকোনো x-এর জন্য y = x + 1 নিলেই হয়। কিন্তু লিখি,
তাহলে দাবি করছি, এমন একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা আছে, যা সব প্রাকৃতিক সংখ্যার চেয়ে বড়। এটি মিথ্যা। যে y-ই প্রস্তাব করা হোক, x = y নিলে আর y > x থাকে না।
প্রথম বাক্যে x দেখে y বেছে নিতে পারি। দ্বিতীয় বাক্যে একই y-কে সব x-এর জন্য কাজ করতে হচ্ছে। শুধু quantifier-এর ক্রম বদলেই দাবিটি বদলে গেল।
এবার মিমে আসি। আগের D(x) ব্যবহার করেই ‘এমন একজন মানুষ আছেন যে, যদি তিনি ঢাকায় থাকেন, তবে সবাই ঢাকায় থাকেন’ বাক্যটি লিখতে পারি:
বন্ধনীটা গুরুত্বপূর্ণ। আমরা দাবি করছি, এমন একজন x আছেন, যাঁর জন্য বন্ধনীর পুরো conditional statement সত্য। আমরা আলাদা করে দাবি করছি না যে সেই x ঢাকায় থাকেন। আগের পর্বের ⇒ আর এখানে ব্যবহৃত →, দুটো দিয়েই conditional বোঝাচ্ছি। আগের পর্বে দেখেছিলাম, P → Q মিথ্যা হওয়ার একমাত্র পরিস্থিতি হলো P সত্য, অথচ Q মিথ্যা। এবার সেই নিয়মেই প্রমাণ করি।
প্রথম সম্ভাবনা: সবাই ঢাকায় থাকেন।
এক্ষেত্রে U থেকে যেকোনো একজনকে বেছে নিই। তাঁর জন্য ‘তিনি ঢাকায় থাকলে সবাই ঢাকায় থাকেন’ সত্য, কারণ conclusion, অর্থাৎ ‘সবাই ঢাকায় থাকেন’, ইতোমধ্যেই সত্য।
দ্বিতীয় সম্ভাবনা: ‘সবাই ঢাকায় থাকেন’ কথাটি সত্য নয়।
ক্লাসিক্যাল লজিকে এর অর্থ, অন্তত একজন ঢাকায় থাকেন না। এমন একজনকে বেছে নিই। তাঁর জন্যও ‘তিনি ঢাকায় থাকলে সবাই ঢাকায় থাকেন’ সত্য, কারণ hypothesis-টি মিথ্যা।
দুই ক্ষেত্রেই প্রয়োজনীয় একজন পাওয়া গেল। এখানে U অশূন্য হওয়ার শর্তটি দরকার। কেউই না থাকলে ‘এমন একজন আছেন’ কথাটি সত্য হবে না।
এই বাক্য থেকে মানুষটির ঢাকায় থাকার সঙ্গে অন্যদের ঢাকায় থাকার কোনো কার্যকারণ সম্পর্ক পাওয়া যায় না। তিনি ঢাকায় এলেই অন্য সবাই ঢাকায় চলে আসবেন, এমন দাবিও করা হয়নি। আমরা নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে একটি material conditional-এর সত্যমান বিচার করছি। অন্য পরিস্থিতিতে উপযুক্ত ব্যক্তিটি বদলাতেও পারেন।
আর মিমের বাক্যটি এর সমান নয়:
এই নতুন বাক্যটি বলছে, কেউ একজন ঢাকায় থাকলেই সবাই ঢাকায় থাকেন। দুজন মানুষের মধ্যে একজন ঢাকায় আর অন্যজন ব্রাহ্মণবাড়িয়ায় থাকলে এটি মিথ্যা। অথচ মিমের মূল বাক্যটি তখনও সত্য। ব্রাহ্মণবাড়িয়ায় থাকা মানুষটিকে বেছে নিলেই হয়।
অর্থাৎ quantifier কোন অংশটিকে নিয়ন্ত্রণ করছে, সেটিও খেয়াল রাখতে হবে। একে quantifier-এর scope বলা হয়।
‘সবাই নয়’ আর ‘কেউই নয়’ কি এক কথা?
আগের পর্বে P-এর নেগেশন P′ লিখেছিলাম। এবার একই জিনিস ¬P লিখব।
‘সবাই ঢাকায় থাকেন’ কথাটির নেগেশন হলো ‘সবাই ঢাকায় থাকেন, এমন নয়’। এটি ‘কেউই ঢাকায় থাকেন না’ দাবি করছে না। অন্তত একজন ঢাকায় না থাকলেই ‘সবাই ঢাকায় থাকেন’ কথাটি মিথ্যা হয়ে যায়।
ক্লাসিক্যাল লজিকে তাই:
অন্যদিকে, ‘অন্তত একজন ঢাকায় থাকেন’ কথাটির নেগেশন বলছে, একজনও ঢাকায় থাকেন না। অর্থাৎ প্রত্যেক x-এর জন্য ¬D(x) সত্য:
এখানে ≡ দিয়ে যৌক্তিক সমতুল্যতা বোঝাচ্ছি। এবার মিমের বাক্যটিকে সরল করে দেখি। আগের মতো U হলো আমাদের আলোচ্য মানুষের অশূন্য সমষ্টি, আর D(x) মানে ‘x ঢাকায় থাকেন’। সংক্ষেপে লিখি:
অর্থাৎ A হলো ‘সবাই ঢাকায় থাকেন’। মিমের বাক্যটি তাহলে:
আগের পর্ব থেকে জানি, ক্লাসিক্যাল লজিকে P → Q ≡ ¬P ∨ Q। এটি এবং একটু আগে পাওয়া quantifier-এর নেগেশনের নিয়ম ব্যবহার করলে:
এখানে দ্বিতীয় থেকে তৃতীয় লাইনের ধাপটি একটু খেয়াল করি। A পুরো দল সম্পর্কে একটি বক্তব্য। কোন x বেছে নিচ্ছি, তার ওপর A নির্ভর করছে না। আবার U-তে অন্তত একজন আছেন। তাই ‘অন্তত একজন x-এর জন্য ¬D(x) অথবা A সত্য’ কথাটি লেখা যায় ‘অন্তত একজনের জন্য ¬D(x) সত্য, অথবা A সত্য’। A সত্য হলে যেকোনো একজনকে বেছে নেওয়া যাবে। পরের ধাপে ব্যবহার করেছি, ‘অন্তত একজন ঢাকায় থাকেন না’ এবং ‘সবাই ঢাকায় থাকেন, এমন নয়’ ক্লাসিক্যাল লজিকে সমতুল্য। সবশেষে OR-এর দুই পাশের ক্রম বদলেছি।
ফলে মিমের বাক্যটি ক্লাসিক্যাল লজিকের নিয়মে সরল করলে পাওয়া যায়:
‘হয় সবাই ঢাকায় থাকেন, অথবা সবাই ঢাকায় থাকেন, এমন নয়।’
অর্থাৎ অদ্ভুত শোনানো কথাটিকে সরল করতে গিয়ে আমরা A ∨ ¬A-তেই ফিরে এলাম।
যেকোনো proposition A-এর জন্য A ∨ ¬A গ্রহণ করার নীতিই Law of Excluded Middle, সংক্ষেপে LEM।
তবে A ∨ ¬A সূত্রটি একা আমাদের বলে দেয় না, A আর ¬A-এর মধ্যে কোনটি প্রতিষ্ঠা করব। পরের পর্বে সত্যমানের হিসাবের পাশাপাশি প্রমাণের গঠনটিও দেখব। তখন Law of Excluded Middle, proof by contradiction এবং ¬¬A থেকে A-তে যাওয়ার নিয়ম নতুন করে পরীক্ষা করা যাবে। প্রথম পর্বের মিমে constructivist-দের আপত্তির কথাও তখন পরিষ্কার হবে।
আজ এই পর্যন্তই।