গণিতে প্রচুর পরিমাণে কন্ডিশনাল স্টেটমেন্ট ব্যবহৃত হয়, আমরাও আমাদের কথার মাঝে প্রচুর কন্ডিশনাল স্টেটমেন্ট ব্যবহার করি। যেমন, ‘যদি আজ বৃষ্টি নামে তবে বাংলাদেশ জিতে যাবে’, ‘যদি কোন আয়তের দুটি সন্নিহিত বাহু সমান হয় তবে এটি একটি বর্গ’। আমরা উদাহরণগুলো থেকে কন্ডিশনাল স্টেটমেন্টের কিছু বৈশিষ্ট্য খেয়াল করি- প্রতিটি স্টেটমেন্টের গঠন এরকম: ‘যদি Statement1 তবে Statement2’ (‘If Statement1 then Statement2’), এখানে দুটো Statement ‘If…then..’ দিয়ে যুক্ত হয়েছে। মানে দুটো সিম্পল স্টেটমেন্ট মিলে কমপ্লেক্স আরেকটা স্টেটমেন্ট। Statement1 কে বলা হয় Hypothesis, Statement2 কে বলা হয় Conclusion পুরো কন্ডিশনাল স্টেটমেন্টটি মিথ্যা হবে যদি Hypothesis সত্য হলেও Conclusion মিথ্যা হয়। যেমন ধরুন আমরা বললাম ‘যদি বিস্তারিত
গণিত
কোয়াটারনিয়ন – সংখ্যার এক অন্যভুবন
ঘড়ির ঘণ্টার কাটা ঘুরানোর কথা চিন্তা করুন। গণিতবিদেরা অনেক আগে থেকেই জানেন কিভাবে এধরনের ঘূর্ণনকে সাধারণ গুণন দিয়ে ব্যাখ্যা করা যায়। খুব সহজ, যে সংখ্যা দিয়ে কাটার অবস্থান প্রকাশ করা হল, সেটাকে আরেকটা ধ্রুবক সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে ঘুরে যাবে অবস্থান। এ ঘুর্ণন তো ছিল একটা তলে, মানে দ্বিমাত্রিক ঘুর্ণন। তাহলে এরকম সহজ উপায় দিয়ে কি ত্রিমাত্রিক ঘুর্ণনকেও ব্যাখ্যা করা যায়? এই সমস্যাটাই এক দশকের বেশি ভাবিয়েছে উইলিয়াম হ্যামিল্টনকে। তিনি ছিলেন ১৯ শতকের অন্যতম এক গণিতবিদ। সমাধান করতে গিয়ে তিনি পেলেন চার মাত্রিক এক নতুন সংখ্যা পদ্ধতি, যা সূচনা করেছে আধুনিক বীজগণিতের।
0^0 সমান কত ?
১৯ শতকের প্রথমদিকেও গণিতবিদদের মহলে এর ব্যাখ্যা একটি বিতর্কের বিষয় ছিল। সেসময়কার অধিকাংশ গণিতবিদেরা মেনে নিয়েছিলেন । কিন্তু সমস্যা বেধেছিল, ১৮২১ সালে গণিতবিদ Cauchy কে এর মত অনির্ণেয় আকারগুলোর সাথে একই তালিকাভুক্ত করলেন। আবার ১৮৩০ এর দশকে গণিতবিদ Libri এর পক্ষে তার যুক্তি প্রকাশ করেছিলেন। সেটাও ছিল সংশয়পূর্ণ, কিন্তু আরেক গণিতবিদ Möbius তাঁকে সমর্থন দিয়েছিলেন এবং ভুলভাবে দাবি করেছিলেন যে, হলেই হয়। একজন ব্যাখাকারী (যিনি শুধুমাত্র ‘S’ দিয়ে নাম স্বাক্ষর দিয়েছিলেন) এর প্রতিউত্তরে এর উদাহরণ দিয়েছিলেন এবং ফলস্বরূপ এই বাক-বিতণ্ডা কিছু সময়ের জন্য হলেও একটু শীথিল হয়েছিল। যা হোক, অনেক তর্ক-বিতর্ক, দ্বিধা-দ্বন্দ শেষে ১৯৯২ সালে গণিতবিদ Donald Knuth এ ব্যাপারটি বিস্তারিত
জীববিজ্ঞানে গণিতঃ মেন্ডেল ও মটরশুটি
আমাদের নৈসর্গিক এই মহাবিশ্বকে ব্যাখ্যা করার জন্য কিছু মৌলিক সূত্র রয়েছে, এই ধারনার সাথে আমরা সবাই অভ্যস্ত। আমরা নিজেরাই এই সূত্রগুলোর গাণিতিক প্রকাশ থেকে বিভিন্ন ঘটনা বা প্রকৃয়া যেমন একটা ফুটবলের গতিপথ, পারমাণবিক চুল্লীর চেইন রিঅ্যাকশন কিংবা মোবাইল ফোন থেকে টাওয়ারের সংকেতের আদান প্রদানে সিস্টেমের আচরনকে অনুমান করতে পারি। তবে জীববিজ্ঞানের ক্ষেত্রে এমনটা বলা কঠিন। পদার্থবিজ্ঞানে F=ma এর মত সার্বজনীন সূত্র জীববিজ্ঞানেও আছে কিনা তা আমরা এখনো জোর দিয়ে বলতে পারিনা। তবে দিন দিন এমন নজিরের সংখ্যা বাড়ছে যা ঐক্যবদ্ধ গাণিতিক নীতির কথা বলে। জীবনের পেছনে কি আসলেই কোন সুন্দর গাণিতিক গল্প রয়েছে? এই লেখায় জিনতত্বের সাথে জড়িত গণিতের সম্পর্কে বিস্তারিত
গনিতের প্রতি ভালোবাসা
জীবনের প্রথম দিকে গনিতকে প্রচন্ড ঘৃণা করতাম। তারপর হঠাৎ ই কোন কারন ছাড়া ভালোবেসে ফেললাম গনিতকে। গনিতের প্রতি একটা আকর্ষণ তৈরি হল । কৌতুহল জন্ম নিল মনে। ভালোবাসা দিয়ে ভরে তোলার চেষ্টা করলাম গনিত কে। ভাবনা কে জাগ্রত করলাম। কৌতুহলের নদী মনের চারিদিকে বেয়ে চলেছে। গনিতের উপর লেখা বই গুলো কিনে পড়তে শুরু করলাম। গনিতকে অনুভব করতে শিখলাম। ধরাবাঁধা নিয়মকে অতিক্রম করতে তীব্র ইচ্ছা জন্ম নিল মনে। আমরা কি শুধু পরীক্ষার পাশ করার জন্য অংক করি?? গনিতের মত মজার বিষয় আর হতে পারে না। একবার যদি গনিত সমুদ্রে প্রবেশ করা যায় তবেই এর প্রকৃত মজা উপলব্ধি করা যাবে। এক সময় বিস্তারিত
গণিতের সৌন্দর্য্য: পর্ব-৪ (সবচেয়ে বড় সংখ্যাগুলো)
এখানে প্রত্যেকটি স্তরে ↑ এর সংখ্যা নির্ধারিত হয় তার আগের স্তরের ↑ এর সংখ্যা অনুযায়ী। গ্রাহামের সংখ্যাটিকে (G)সংজ্ঞায়িত করা যায় এভাবে, G= g(64) যেখানে, ১ম স্তরের জন্য g(1) = 3↑↑↑↑3, n তম স্তরের জন্য g(n)= 3↑^(g(n)-1) 3 অতএব গ্রাহামের সংখ্যা G কে লেখা যায়, G = g(64) = 3↑^(g(63))3 বুঝতে পারছেন, g(63) এর মান আসবে g(62) হতে। g(62) আসবে g(61) হতে। এভাবে g(2) এর মান আসবে g(1) হতে, আর g(1) হলো 3↑↑↑↑3। এবার আসা যাক ↑ এর ব্যবহার সম্পর্কে। 3↑3 = 3^3 = 27 3↑↑3 = 3↑(3↑3) = 3↑27= 3^27=7625597484987 3↑↑↑3 = 3↑↑(3↑↑3)= 3↑↑(3↑3↑3) = 3↑ 3↑ 3……3↑ 3↑ 3…………3↑ বিস্তারিত