আগে আমি জীববিজ্ঞান অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি ও নমুনা প্রশ্ন নিয়ে ব্লগ পোস্ট লিখেছিলাম। তখন অনেকে অনুরোধ করেছিল যাতে “গণিত অলিম্পিয়াডের নমুনা প্রশ্ন” নিয়ে একটা কন্টেন্ট বানাই। তাই চলে এলাম ৮টি প্রশ্ন নিয়ে। এর মধ্যে ৪টি প্রশ্নের সমাধান দেওয়া থাকবে আর ৪টা প্রশ্নের সমাধান তোমরা নিজেরা করবে। চলো, প্রশ্নের সাগরে ঝাঁপ দেওয়া যাক!

প্রশ্ন ও সমাধান

১. 6-36+216-1296+7776-46656+…ধারাটির জোড় সংখ্যক পদের যোগফল সর্বক্ষেত্রে কোন কোন বিজোড় মৌলিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হবে?

সমাধানঃ ধারাটির-
১ম 2টি পদের যোগফল -30
১ম 4টি পদের যোগফল -1110
১ম 6টি পদের যোগফল -39990

এক্ষেত্রে সর্বনিম্ন যোগফল হলো -30, যা 2,3 ও 5 মৌলিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য। তবে এখানে 3 ও 5 হলো বিজোড় মৌলিক সংখ্যা। এভাবে -1110, -39990 এবং যেকোনো জোড় পদের যোগফল 3 ও 5 দ্বারা বিভাজ্য হবে। অন্যান্য যোগফল 3 ও 5 ছাড়া অন্যান্য বিজোড় মৌলিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হতে পারে। তবে যেহেতু সেই সংখ্যাগুলো দ্বারা সর্বনিম্ন যোগফল বিভাজ্য হয় না, তাই সেগুলো গ্রহণযোগ্য নয়।

অর্থাৎ, যোগফল সর্বক্ষেত্রে 3 ও 5-এই দুটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হবে।

২. চিত্রে ABCD O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে একটি অন্তর্লিখিত বর্গ। সমকোণী সমদ্বিবাহু △ABC এ AB=3 সেমি, AE⊥AB এবং AE=2AC হলে CE এর মান নির্ণয় করো।

সমাধানঃ ABCD একটি বর্গ
অর্থাৎ, △ABC এ  ভূমি=লম্ব।
∴ AB=BC=3
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
AB²+BC²=AC²
বা, 3²+3²=AC²
বা, AC²=√18
বা, AC=4.24
বা, 2AC=8.48
∴ AE=8.48 সেমি

প্রশ্নে বলা হয়েছে, ABCD একটি বর্গ।
অর্থাৎ, AB=CD=3

আবার, AB=AD=3
এখন, AE=8.48
বা, AD+DE=8.48
বা, 3+DE=8.48
∴ DE=5.48

যেহেতু, AE⊥AB এবং বর্গের বিপরীত বাহুদ্বয় (AB ও CD) পরস্পর সমান্তরাল, তাই DE⊥CD
এখন, পিথাগোরাসের সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
△DCE এ CD²+DE²=CE²
বা, √(3²+5.48²)=CE
∴CE=6.25 (প্রায়)
[যদিও গণিত অলিম্পিয়াডে সাধারণত ক্যালকুলেটর ব্যবহার করা যায় না। তারপরেও আমি সূক্ষমান বের করার জন্য ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে মান নির্ণয় করেছি]

৩. একটি ছক্কা ও n সংখ্যক মুদ্রা নিক্ষেপের ঘটনায় নমুনাবিন্দুর সংখ্যা কোন সূত্র দিয়ে নির্ণয় করা যাবে?

একটি ছক্কা ও 1টি (n=1) মুদ্রা নিক্ষেপের ঘটনায় নমুনাবিন্দুর সংখ্যা 12=3×2¹⁺¹
একটি ছক্কা ও 2টি (n=2) মুদ্রা নিক্ষেপের ঘটনায় নমুনাবিন্দুর সংখ্যা 24টি=3×2²⁺¹
একটি ছক্কা ও 3টি (n=3) মুদ্রা নিক্ষেপের ঘটনায় নমুনাবিন্দুর সংখ্যা 48টি=3×2³⁺¹

একটি ছক্কা ও n সংখ্যক মুদ্রা নিক্ষেপের ঘটনায় নমুনাবিন্দুর সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র হলো 3×2ⁿ⁺¹

৪. 2ⁿ-1= (3n+1)(3n+3) হলে n এর সর্বনিম্ন ধনাত্মক মান কত? (মক টেস্ট, গণিত উৎসব-২০২২)

সমাধানঃ n=1 ধরলে, L.H.S=1, R.H.S=24
n=2 ধরলে, L.H.S=3, R.H.S=63
n=3 ধরলে, L.H.S=7, R.H.S=120
n=4 ধরলে, L.H.S=15, R.H.S=195
n=5 ধরলে, L.H.S=31, R.H.S=288
n=6 ধরলে, L.H.S=63, R.H.S=399
n=7 ধরলে, L.H.S=127, R.H.S=528
n=8 ধরলে, L.H.S=255, R.H.S=675
n=9 ধরলে, L.H.S=511, R.H.S=840
n=10 ধরলে, L.H.S=1023, R.H.S=1023

অর্থাৎ n এর মান 10 হলে L.H.S=R.H.S হয়, অর্থাৎ n এর সর্বনিম্ন ধনাত্মক মান 10.

নিজে করো

১. 5ⁿ+a=5(5^n-1+1) হলে a=?
২. A={₅(x-1)(x⁴+x²-20)=1} B={-1<x<2}, A U B এর সমাধানে কোন কোন ঋণাত্মক মান পাওয়া যাবে?
৩. x+x^-1=2 হলে x⁹⁹+x^-100=?
৪. কোনটি বড়? 2¹¹+3⁷ নাকি 5⁶-4⁶ ?