কথা ছাড়া প্রমাণ: গণিতের সৌন্দর্য

 

গণিত এক অবাক করা সুন্দরী। এর প্রতিটি বাঁকে রয়েছে অপূর্ব এক মায়া। আজ আমরা গণিতের এক ধরনের প্রমাণের কথা বলব, যার জন্য কোন কথার প্রয়োজন হয় না। শুধু ছবি থেকেই প্রমাণিত হয়ে যায়! সমীকরণের যদি প্রয়োজন হয়ও তবুও তা মাত্র কয়েক লাইন। সবচেয়ে বড় কথা হচ্ছে, এ ধরনের প্রমাণ আমাদের শেখায় কীভাবে গণিতকে অনুভব করতে হয়। গণিতের বিমূর্ত সূত্র, উপপাদ্যসমূহ তখন জীবন্ত হয়ে শিরা-উপশিরায় বইতে থাকে।

এ ধরনের প্রমাণকে বলা হয় proof without words, বাংলায় কথা ছাড়া প্রমাণ।

মাধ্যমিক গন্ডির শুরুতেই আমাদের সাথে পরিচয় হয় (a+b)²=a²+2ab+b² সূত্রটির! কিন্তু কয়জন তার প্রমাণ পারে? যারা পারে তাদের মধ্যে কয়জনই বা এর রহস্যময় দিকটি ধরতে পেরে সূত্রটিকে অনুভব করে?

চলুন তবে proof without words এর মাধ্যমে প্রমাণটি দেখে নেই

 

(a+b)²=a²+2ab+b²
(a+b)²=a²+2ab+b²

 

ছবিটা দেখে আসলেই জ্যামিতিক ভাবে প্রমাণটা বুঝা গেলো।

এবার চলুন, পিথাগোরাসের উপপাদ্যটাই বরং দেখা যাক,

 

ভেতরের বর্গের ক্ষেত্রফল বড় বর্গ থেকে ত্রিভুজ চারটি বাদ দিলেই পাওয়া যায়।
ভেতরের বর্গের ক্ষেত্রফল বড় বর্গ থেকে ত্রিভুজ চারটি বাদ দিলেই পাওয়া যায়।

 

ছোট বর্গের ক্ষেত্রফল c², বড় বর্গের ক্ষেত্রফল (a+b)², প্রতিটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ½ab, কাজেই, c²=(a+b)²-4×½ab

 

অর্থাৎ c²=a²+b² যা কিনা পিথাগোরাসের উপপাদ্য।

আমরা জেনেছি যে s=½+¼+ 1/8 +……… সিরিজটির সমষ্টি অসীম পর্যন্ত নিলে হয় 1

কিন্তু বিষয়টি অনুভবের জন্য নীচের ছবিটি দেখুন।

 

কেনো ½+¼+.......=1
কেনো ½+¼+…….=1

 

আপনাদের যদি মনে হয়ে থাকে যে এগুলো ছোট ছোট ক্লাসের জন্যই শুধু উপযোগী তবে আপনারা ভুল ভাবছেন। আপনারা sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB সূত্রটা পড়ছেন, এটা শুধু একটা চিত্রের মাধ্যমেই প্রমাণ সম্ভব।

আগ্রহী পাঠকদের জন্য তা দেয়া হল:

 

 

 

যৌগিক কোণের সাইন ও কোসাইন সূত্র
যৌগিক কোণের সাইন ও কোসাইন সূত্র

 

এরকম হাজার হাজার প্রমাণ আছে, উচ্চতর গণিতে এর অবদান কম নয়।

গণিতের মূর্ছনায় সুখময় হোক আপনাদের জীবন।

One thought on “কথা ছাড়া প্রমাণ: গণিতের সৌন্দর্য

আপনার মতামত

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.