এক চলকবিশিষ্ট বহুপদীর উৎপাদকে বিশ্লেষণ

এক চলক বিশিষ্ট বহুপদী হল বীজগাণিতিক রাশি, যার প্রতিটি পদ C.xⁿ আকারের। যেখানে , n∈ℤ+, আর C হল ধ্রুব। আমার আলোচনায় n≤4 থাকবে আর C পূর্ণসংখ্যা।
বহুপদীতে সসীম সংখ্যক পদ থাকবে। একটি পদ থাকলেও বহুপদী হয়।
উদাহরণস্বরূপ, 2x³-3 একটি বহুপদী, এর দুটি পদ 2x³ এবং -3
বহুপদীর উৎপাদকে বিশ্লেষণ হল বহুপদীকে একাধিক বহুপদীর গুণফল আকারে প্রকাশ।

এখন, n=2 হলে বহুপদীর উৎপাদকে বিশ্লেষণ আমরা সবাই জানি। তবুও একটু দেখা যাক,
ax²+bx+c এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে। a,b,c এখানে পূর্ণসংখ্যা ও সহমৌলিক।
এবার ax²+bx+c=0 এর মূলগুলো যদি মূলদ হয়, তবে উৎপাদকে বিশ্লেষণ সম্ভব।
আর এর শর্ত b²-4ac পূর্ণবর্গ হতে হবে।
এখন, ধরা যাক, 2x²-5x+2 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে।
এখন, 5²-4×2×(-2)=31 যা পূর্ণবর্গ না, কাজেই উৎপাদকে বিশ্লেষণ সম্ভব না।
এবার ধরি, 2x²+13x+18 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে।
এখন, 13²-4×2×18=25=5², কাজেই একে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যাবে।
দুটো নিয়মে করা যেতে পারে।
✳নিয়ম-১:
এখানে, a=2,b=13,c=18
D=b²-4ac=5²
তাহলে 2x²+13x+18=0 এর মূলদ্বয়:
(-b±√D)/2a=(-13±5)/4=-2,-9/2
অতএব, 2x²+13x+18=2(x+2)(x+9/2)=(x+2)(2x+9)

✳ নিয়ম:২
ca=2×18=36
এখন,
36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6
দেখা যাচ্ছে, 4+9=13=b
অতএব 2x²+13x+18=2x²+4x+9x+18=2x(x+2)+9(x+2)=(2x+9)(x+2)
এটি আমাদের খুব পরিচিত সেই নিয়ম।
এবার আমি ত্রিঘাতের উৎপাদকে বিশ্লেষণ দেখাবো।
এ প্রসঙ্গে বলে রাখি,
f(x)=ax³+bx²+cx+d (যেখানে a স্বাভাবিক সংখ্যা, b,c,d পূর্ণসংখ্যা) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যাবে, যদি f(x)=0 এর অন্তত একটি মূল মূলদ হয়। আর n মাত্রার যেকোন বহুপদীর জন্যই একই শর্ত প্রযোজ্য হবে, যদি n বিজোড় হয়। একটি মূলদ মূল থাকতেই হবে।
এবার, সেই মূলদ মূলটি বের করার সাধারণ পদ্ধতি শেখা যাক।
Ao.xⁿ+A₁.xⁿ⁻¹+ A₂.xⁿ⁻²+…….An=0 (যেখানে Ao,A1,…..An পূর্ণসংখ্যা) এর মূলদ কোন মূল থাকলে যদি তা p/q হয় (p,q সহমৌলিক) তবে p হবে An এর উৎপাদক, q হবে Ao এর উৎপাদক। আর বলা বাহুল্য, p/q এর এরকম সম্ভাব্য মানগুলোর মাঝে যেটি সমীকরণকে সিদ্ধ করবে সেটিই হল মূল।
ধরা যাক, x³-4x+6 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে।
এখন, সম্ভাব্য মূল ±1,±2,±3,±6
এবার দেখুন এই মানগুলোর কোনটির জন্যই x³-4x+6=0 হয় না।
অতএব এই বহুপদীর উৎপাদকে বিশ্লেষণ সম্ভব নয়।

আরেকটি উদাহরণ দেখা যাক।
2x³-x²-x-3 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে।
সম্ভাব্য মূলদ মূলগুলো ±1,±3,±½,±3/2
মান বসিয়ে দেখুন কেবল x=3/2 এর জন্য 2x³-x²-x-3=0
তাই এর একটি উৎপাদক (2x-3), অতএব একে সহজেই একটি একঘাত ও দ্বিঘাতের গুণফল আকারে লিখা যাবে।

এবার চতুর্ঘাতের কথা বিবেচনা করি,
f(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+h কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে দুই ধরণের আকৃতি সম্ভব।
প্রথমটি হল দুটো দ্বিঘাত বহুপদীর গুণফল, এক্ষেত্রে হতে পারে দুটো বহুপদীর একটিও উৎপাদকে বিশ্লেষণযোগ্য নয়। এক্ষেত্রে f(x)=0 এর কোন মূলদ মূলই থাকবে না। আর এরূপক্ষেত্রে এমনও হতে পারে f(x)=0 এর মূলদ মূল নেই, উৎপাদকও নেই।
আবার হতে পারে, একটি দ্বিঘাত বহুপদী উৎপাদক উৎপাদকে বিশ্লেষণ যোগ্য।
আবার এও হতে পারে দুটি দ্বিঘাত বহুপদীই উৎপাদকে বিশ্লেষণযোগ্য।

দ্বিতীয় আকৃতিতে f(x) একটি একঘাত ও একটি ত্রিঘাত বহুপদীর গুণফল। ত্রিঘাত রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যেতে পারে, নাও যেতে পারে।
এসব ক্ষেত্রে f(x)=0 এর অন্তত একটি মূল মূলদ।
এই আলোচনা থেকে একটা বিষয় স্পষ্ট হওয়া উচিত, জোড় ঘাতের বহুপদীর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যাবে কি যাবে না তা বলা মুশকিল।
এক্ষেত্রে f(x)=0 এর কোন মূলদ মূল না থাকলে উৎপাদকে বিশ্লেষণ সম্ভব হতে পারে, নাও হতে পারে।
কিন্তু বিজোড়ের বেলায় তা তুলনামূলক সহজে বলে দেয়া যাবে।
তবে যেকোন ঘাতের বহুপদীর বেলায় যদি f(x)=0 এর মূলদ মূল থাকে তবে অবশ্যই তা উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যাবে।
আর বলা বাহুল্য বিজোড় ঘাতের বহুপদীর উৎপাদকে বিশ্লেষণেও জোড় এসে পড়ে।

এবার, যেকোন জোড় ঘাতের বহুপদী f(x) এর বেলায় আমরা প্রথমে দেখবো f(x)=0 এর কোন মূলদ মূল আছে কিনা।
যদি থাকে, তবে উৎপাদকগুলো বের করে ফেলা সহজ।
যেমন, খুব সহজেই f(x)=x⁴-2x³+2x²-1 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে পারি। কেননা f(x)=0 এর কেবল একটি মূল মূলদ, তা হল x=1
কাজেই f(x)=(x-1)(x³-x²+x+1)
এবার যদি, f(x)=x⁴-32x-60 হলে,
দেখেন f(x)=0 এর কোন মূলদ মূল নেই।
তাহলে অবশ্যই
x⁴-32x-60=(x²+ax+b)(x²+cx+d)
এখন, এটি একটি অভেদ।
x³ এর সহগ সমীকৃত করে পাই, a+c=0,
তাহলে,
x⁴-32x-60=(x²+ax+b)(x²-ax+d)
এবার, x² এর সহগ সমীকৃত করে পাই,
b+d-a²=0, বা a²=b+d
এবার ধ্রুবপদের সহগ সমীকৃত করে পাই,
bd=-60
তাহলে,
b ও d এর সম্ভাব্য মান (সাথে a এর মান)
b=-1,d=60, a²=59
b=-2,d=30, a²=28
b=-3, d=20, a²=17
b=-4, d=15, a²=11
b=-5, d=12, a²=7
b=-6, d=10, a²=4
(উল্টোটা লেখার দরকার নেই)

এখন a পূর্ণসংখ্যা, কাজেই b=-6, d=10, a²=4 বা a=±2
(✳✳✳  Note: যদি এমন কোন মান না থাকতো যার জন্য b+d পূর্ণবর্গ তবে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যেতো না)
এখন a=2 নাকি a=-2 তা দেখতে হবে,
x এর সহগ সমীকৃত করে, ad-ab=-32
b=-6,d=10, কাজেই 10a+6a=-32
অর্থাৎ a=-2

(✳✳✳  Note: এক্ষেত্রে যদি a এর মান ±2 বাদে অন্যকিছু পাওয়া যেতো তবে এটি উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যেতো না)
কাজেই
x⁴-32x-60=(x²-2x-6)(x²+2x+10)

যাহোক, এই নোটে চতুর্ঘাত পর্যন্ত উৎপাদকে বিশ্লেষণের জন্য আমার একান্ত নিজস্ব চিন্তাচেতনা, ভাবনা ও মেধাকে কাজে লাগিয়েছি। শুধুমাত্র বিশুদ্ধ গণিতকে ভালোবেসে অনেক সময় নিয়ে এই নোট করা। এই ধারণা কাজে লাগিয়ে আরও উচ্চতর ঘাতের জন্য অগ্রসর হওয়া যাবে।

গণিতের মূর্ছনায় সুরময় হোক সবার জীবন।