গণিতে প্রচুর পরিমাণে কন্ডিশনাল স্টেটমেন্ট ব্যবহৃত হয়, আমরাও আমাদের কথার মাঝে প্রচুর কন্ডিশনাল স্টেটমেন্ট ব্যবহার করি। যেমন, ‘যদি আজ বৃষ্টি নামে তবে বাংলাদেশ জিতে যাবে’, ‘যদি কোন আয়তের দুটি সন্নিহিত বাহু সমান হয় তবে এটি একটি বর্গ’। আমরা উদাহরণগুলো থেকে কন্ডিশনাল স্টেটমেন্টের কিছু বৈশিষ্ট্য খেয়াল করি-
প্রতিটি স্টেটমেন্টের গঠন এরকম: ‘যদি Statement1 তবে Statement2’ (‘If Statement1 then Statement2’), এখানে দুটো Statement ‘If…then..’ দিয়ে যুক্ত হয়েছে। মানে দুটো সিম্পল স্টেটমেন্ট মিলে কমপ্লেক্স আরেকটা স্টেটমেন্ট।
Statement1 কে বলা হয় Hypothesis, Statement2 কে বলা হয় Conclusion; পুরো কন্ডিশনাল স্টেটমেন্টটি মিথ্যা হবে যদি Hypothesis সত্য হলেও Conclusion মিথ্যা হয়। যেমন ধরুন আমরা বললাম ‘যদি বাংলাদেশ আজকে জিতে যায়, তবে আমি সবাইকে খাওয়াবো’, দেখা গেল বাংলাদেশ জিতে নাই তবুও আমি সবাইকে খাওয়ালাম, এতে কি কন্ডিশনাল স্টেটমেন্ট মিথ্যা হয়ে গেল? উত্তর হলো- না। কেননা বাংলাদেশ জেতার পরে যদি আমি না খাওয়াতাম তাহলে আমার কথা মিথ্যা বলা যাবে, বাংলাদেশ হেরে গেলে আমি খাওয়াই বা না খাওয়াই, আমার পুরো স্টেটমেন্ট সত্যই থাকবে।
ধরা যাক Hypothesis হলো P আর Conclusion হলো Q তাহলে আমরা পুরো কন্ডিশনাল স্টেটমেন্টকে লিখি P⇒Q.
যদি P⇒Q হয় তবে Q⇒P নাও হতে পারে। যেমন P=শুভ ঢাকা থাকে, Q= শুভ বাংলাদেশে থাকে। আমরা জানি P⇒Q সত্য, কেননা ঢাকা বাংলাদেশের অংশ। কিন্তু Q⇒P সত্য না, কারণ বাংলাদেশে থাকা মানেই ঢাকায় থাকা নয়, শুভ ব্রাহ্মণবাড়িতেও থাকতে পারে। Hypothesis সত্য অথচ conclusion মিথ্যা হলেই পুরো conditional মিথ্যা। এই conditional নিজে থেকে hypothesis-কে conclusion-এর কারণ বলে না।
এখানে P, Q উভয়েই কিন্তু সিম্পল স্টেটমেন্ট, যার সত্যমান (Truth Value) হয় True নাহয় False. আবার P⇒Q আরেকটি স্টেটমেন্ট যার সত্যমানও হয় True নাহয় False. ‘তোমাকে কাজটি করতেই হবে’ এটি একটি আদেশমূলক বাক্য, আমরা গণিতে একে স্টেটমেন্ট বলি না। স্টেটমেন্টের আরেক নাম হলো Proposition. এই পর্বে আমরা ক্লাসিক্যাল বুলিয়ান যুক্তি ব্যবহার করছি। এখানে নির্দিষ্ট ব্যাখ্যায় প্রতিটি proposition-এর সত্যমান হয় সত্য, নয় মিথ্যা। কোন মানটি হবে, তা আমাদের জানা আছে কি না, সেটি আলাদা প্রশ্ন। এই কাঠামোয় একটি proposition P-এর নেগেশন P′ তার সত্যমান উল্টে দেয়। যেমন, ‘শুভ ঢাকা থাকে’ এর নেগেশন ‘শুভ ঢাকা থাকে না’।
এবার আমরা কন্ডিশনাল স্টেটমেন্ট সংশ্লিষ্ট কিছু স্টেটমেন্টের সাথে পরিচিত হবো। যদি P⇒Q একটি কন্ডিশনাল স্টেটমেন্ট হয় তবে এই স্টেটমেন্টের-
- কনভার্স হলো Q⇒P , আর আমরা জানি কোন কন্ডিশনাল স্টেটমেন্ট আর তার কনভার্স যৌক্তিকভাবে সমতুল্য নয়, যেমন এখানে শুভ বাংলাদেশে থাকলেই ঢাকা থাকবে এমন কোন কথা নেই
- ইনভার্স হলো P’⇒Q’ (এখানে এটি বুঝাচ্ছে ‘শুভ ঢাকায় না থাকলে বাংলাদেশেও নাই’)
- কন্ট্রাপজিটিভ হলো Q’⇒P’ (এখানে এটি বুঝাচ্ছে ‘শুভ বাংলাদেশে না থাকলে ঢাকায়ও নাই)
উদাহরণ থেকে এটা বুঝার কথা যে কোন কন্ডিশনাল স্টেটমেন্ট ও তার কন্ট্রাপজিটিভ যৌক্তিকভাবে সমতুল্য। আবার ইনভার্স ও তার কনভার্স সমতুল্য। বিষয়টা যে সবসময় সত্য হবে এটি সত্যক সারণী থেকে এটি সহজেই বুঝা যায়। বুলিয়ান এলজেব্রার সাথে সবাই কম বেশি পরিচিত তাই আমি বুলিয়ান এলজেব্রাই ব্যবহার করবো।
আমরা ধরি 1 হলো সত্য আর 0 হল মিথ্যা, এবং এরা একে অন্যের কমপ্লিমেন্ট (অর্থাৎ 1’=0, 0’=1)। এখন এটি ধরে নিয়ে আমরা P⇒Q এর একটি সমীকরণ পেয়ে যাই। আমরা খেয়াল করি যে P⇒Q ≡ P’+Q (ডানপক্ষ মিথ্যা হবে যদি P’, Q উভয়ই মিথ্যা হয় বা P সত্য আর Q মিথ্যা হয়, আমরা জানি এটিই আসলে P⇒Q মিথ্যা হবার একমাত্র কারণ), এখানে + দিয়ে Boolean OR বোঝাচ্ছি, সাধারণ সংখ্যার যোগ নয়। আর ≡ দিয়ে যৌক্তিক সমতুল্যতা বোঝাচ্ছি।
এবার তাহলে দেখি কনভার্স আসলে Q’+P ≠ P’+Q, আবার ইনভার্স আসলে (P’)’+Q’= P+Q’= Q’+, কাজেই ইনভার্স আর কনভার্স সমতুল্য। কন্ট্রাপজিটিভ এর বেলায় (Q’)’+(P’) ≡ P’+Q, অর্থাৎ কন্ট্রাপজিটিভ ও মূল স্টেটমেন্ট সমতুল্য।
আমরা অনেক সময় গণিতে অনেক কন্ডিশনাল স্টেটমেন্ট প্রমাণ করি, এবং প্রায়শই অনেক অপপ্রমাণ করি আমরা। যেমন, প্রমাণ করা লাগবে n যদি বিজোড় হবে তবে n² ও বিজোড় হবে। এখন অনেকে আমরা প্রমাণের সময় বলি n বিজোড় না হলে n জোড় হবে, এরপর দেখাই যে সেক্ষেত্রে n² জোড় হয়ে যায়, এরপর আমরা বলি যে তার মানে n বিজোড় হলে n² বিজোড়। কিন্তু একটু খেয়াল করলে বুঝা যায় এখানে আসলে এক প্রকারন্তে ইনভার্স প্রমাণ করা হয়েছে। আর আমরা জানি মূল স্টেটমেন্ট আর ইনভার্স সমতুল্য না। আমরা যদি মূল স্টেটমেন্ট সহজে প্রমাণ না করতে পারি, তবে কন্ট্রাপজিটিভ প্রমাণ করতে পারি। একই ব্যাপার ঘটে ফাংশন এক-এক তার প্রমাণের বেলায়: x≠y ⇒ f(x)≠f(y), কিন্তু আমরা সচরাচর তার কন্ট্রাপজিটিভ: f(x)=f(y) ⇒ x=y প্রমাণ করি।
যদি P⇒Q ও Q⇒P উভয়ই একইসাথে সত্য হয় তবে আমরা P,Q কে কানেক্ট করতে ‘যদি ও কেবল যদি’ (If and only if, সংক্ষেপে iff) ব্যবহার করি: P↔Q ≡ (P⇒Q) ∧ (Q⇒P), এখানে ∧ হলো AND।
যেমন ‘ত্রিভুজে ∠ABC এক সমকোণ হবে যদি ও কেবল যদি AC²=AB²+BC² হয়’ । পাঠকদের জন্য একটা অনুশীলন রইলো, প্রমাণ করুন, A↔B এবং XNOR(A,B) উভয় একই সত্যক সারণী দেয়।
আজ এই পর্যন্তই।