বড়লোক হওয়ার গাণিতিক উপায় (মন্টি হল প্যারাডক্স)

গণিতের বিখ্যাত প্রবলেম গুলোর মধ্যে অন্যতম একটি প্রবলেম হচ্ছে ‘মন্টি হল প্রবলেম’। লেট’স মেক এ ডিল নামের একটি গেম শো হতে এর উৎপত্তি। গেম শো’টির হোস্ট মন্টি  হলের নাম অনুসারেই এই প্রবলেমের নাম ‘মন্টি হল প্রবলেম’। চলুন যেই গেম থেকে মন্টি হল প্রবলেমের জন্ম সেই গেমটি কি ছিলো দেখে নেই। গেম শো’টিতে স্টেজে ৩ টি বন্ধ দরজা থাকতো। যথাক্রমে দরজা-১,দরজা-২ ও দরজা-৩। এই ৩ টি দরজার ১ টির পিছনে থাকতো গাড়ি এবং অন্য ২ টির পিছনে থাকতো ছাগল। একমাত্র মন্টি হলই জানতেন কোন দরজার পিছনে কি আছে। 

দর্শকদের একজন তিনটি দরজা থেকে একটি দরজা বেছে নিতেন। ধরা যাক, দর্শক দরজা-২ বেছে নিয়েছেন। মন্টি হল তখন অন্য ২ টি দরজা থেকে একটি দরজা খুলতেন। ধরা যাক, মন্টি দরজা-৩ খুলেছেন। দেখা গেল দরজা-৩ এ ছাগল আছে। মন্টি তখন দর্শক-কে জিজ্ঞেস করতেন, ” আপনি কি দরজা-২ এ স্থির থাকবেন, নাকি মত পরিবর্তন করে দরজা-১ বেছে নিবেন? কি করলে আপনার গাড়ি পাওয়ার সম্ভাবনা বাড়বে ?” দর্শকের জায়গায় যদি আপনি থাকতেন তাহলে আপনি কি করতেন ? যেটা প্রথমে বেছে নিয়েছিলেন সেটাতেই স্থির থাকতেন নাকি মত পরিবর্তন করে অন্য বেছে নিতেন ?

এই পর্যায়ে অধিকাংশ মানুষ বলবেন, শেষ পর্যন্ত যেহেতু দুইটি  বন্ধ দরজা আছে এবং তাদের মধ্যে যেকোনো একটার পিছনে গাড়ি আছে। তাই যেটাই বেছে নেই না কেন এক কোটি টাকার চেক পাওয়ার সম্ভাবনা ১/২। এখানে সম্ভাবনা বেশি হওয়ার কোনো প্রশ্নই উঠে না। আপাতদৃষ্টিতে এই যুক্তি সঠিক মনে হলেও গণিত  আমাদের বলে দরজা-২ এর পরিবর্তে দরজা-১ বেছে নিলেই বরং আপনার গাড়ি পাওয়ার সম্ভাবনা বেশি। কি বিশ্বাস করতে কষ্ট হচ্ছে? বিশ্বাস না করাটাই স্বাভাবিক। যখন এ সমাধানটি সেই সময়কার একটি বিখ্যাত ম্যাগাজিনে ( প্যারেড ম্যাগাজিন ) প্রকাশিত হয়। আনুমানিক প্রায় ১০,০০০ পাঠক ম্যাগাজিনে চিঠি লিখে দাবি করেন সমাধানটি ভুল। যার মধ্যে আবার ১,০০০ জন পিএইচডি ডিগ্রি ধারী ব্যাক্তিবর্গ ও ছিলেন!

তাই কেন মত পরিবর্তন করলে সম্ভাবনা বেড়ে যায়। তা বুঝতে হলে সমাধান গুলো ভালো করে পড়তে হবে। পাঠকের সুবিধার্থে দুটি সমাধান আলোচনা করা হয়েছে। সমাধান দেখার আগে  একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় খেয়াল করুন, আপনার একটি দরজা বেছে নেওয়ার পর মন্টি যখন অন্য দুটি দরজা থেকে একটি খুলবে। তখন যদি ঐ দুটি দরজার একটির পিছনে গাড়ি থাকে তাহলে মন্টি কখনোই গাড়িওয়ালা দরজাটা খুলবে না। কারণ গাড়িওয়ালা দরজাটা যদি মন্টি খুলে দেয় তাহলে তো খেলা সেখানেই শেষ। আপনি অবশিষ্ট দুটির মধ্যে থেকে যেটিই বেছে নেন না কেন পাবেন ছাগলই! তাই কখনোই দ্বিতীয় ধাপে গাড়িওয়ালা দরজাটা খুলবে না।

এখন সমস্যাটি গাণিতিক ভাবে সমাধান করা যাক।

সমাধান-১ 

কারণ লক্ষ্য করুন, আপনার দরজা বেছে নেওয়া  দুই ধাপে সম্পন্ন হচ্ছে। প্রথমে তিনটি থেকে একটি এবং পরে দুটি থেকে একটি। প্রথমে তিনটি থেকে একটি দরজা (এক্ষেত্রে দরজা-২) বেছে নিলে তার মধ্যে গাড়ি থাকার সম্ভাবনা ১/৩ । অর্থাৎ ৩০০০ বার যদি গেইমটা খেলা হয় তাহলে তার মধ্যে প্রথমে বাছাইকৃত দরজায় ( এক্ষেত্রে দরজা-২) গড়ে ১০০০ বার আপনি গাড়িটি পাবেন। সেক্ষেত্রে দ্বিতীয় ধাপে অন্য  দরজাটি ( এক্ষেত্রে দরজা-২ এর পরিবর্তে দরজা-১) বেছে নিলে যেই ১০০০ বার আপনার গাড়ি  পাওয়ার কথা ছিল সেই ১০০০ বার আপনি দ্বিতীয় ধাপে দরজা পরিবর্তন কারায় গাড়ি পাবেন না। অর্থাৎ ৩০০০ বারে গড়ে ১০০০ বার জিতার  পরিবর্তে হারা। অতএব দরজা পরিবর্তন কারায় আপনার হারার সম্ভবনা ১/৩ ।

এক মিনিট দাড়ান,

হারার সম্ভবনা ১/৩ এর অন্য মানে দাড়াচ্ছে জিতার  সম্ভাবনা ২/৩ !!! অবিশ্বাস্য! সরল কথায়, মত পরিবর্তন করায় ৩ বারে গড়ে  ১ হারবেন তার মানে অবশ্যই গড়ে অন্য ২ বার জিতবেন। সুতরাং  দরজা পরিবর্তন না করলে গাড়ি পাওয়ার সম্ভাবনা ১/৩ এবং পরিবর্তন করলে গাড়ি পাওয়ার সম্ভাবনা ২/৩। অর্থাৎ দরজা পরিবর্তন করলে আপনার চেক পাওয়ার সম্ভাবনা দ্বিগুণ হয়ে যায়। তাই আপনার অবশ্যই গেইমের দ্বিতীয় ধাপে দরজা পরিবর্তন করা উচিত (এক্ষেত্রে বাক্স-২ এর পরিবর্তে বাক্স-৩ বেছে নেওয়া উচিত )।

এখনো বিশ্বাস করতে কষ্ট হলে । আমি যে ভাবে প্রথম ধাপে জিতার  সম্ভাবনা থেকে দ্বিতীয় ধাপে হারার হওয়ার সম্ভাবনা বের করেছি। সেভাবে আপনি প্রথম ধাপে হারার  সম্ভাবনা থেকে দ্বিতীয় ধাপে জিতার  সম্ভাবনা বের করতে পারেন‌। যাঁদের কাছে এখনো বিষয়টি পরিষ্কার হয়নি তাঁরা হতাশ হবেন না। কারণ আমরা এখন  মন্টি হল প্রবলেমের আরেকটি জনপ্রিয় ( সহজবোধ্যও বটে ) সমাধান দেখবো।

সমাধান-২ 

তিনটি দরজা আছে এবং তাদের একটির পিছনে গাড়ি আছে। যেহেতু আপনি জানেন না কোন দরজার পিছনে গাড়ি আছে। সেহেতু প্রত্যেকটি দরজার পিছনে গাড়ি থাকার সম্ভাবনা সমান। অর্থাৎ প্রত্যেকটি দরজার পিছনে গাড়ি থাকার  সম্ভাবনা ১/৩ করে। সুতরাং দরজা-২ এর পিছনে থাকার সম্ভাবনা = ১/৩। এবং দরজা-১ অথবা দরজা-৩ এর পিছনে গাড়ি থাকার মোট সম্ভাবনা = ১/৩ +১/৩ = ২/৩।

গেমের দ্বিতীয় ধাপে মন্টি দরজা-৩ তিন খুলে ফেলায় আপনি দেখলেন দরজা-৩ এর পিছনে ছাগল আছে। তাই দরজা-৩ এর পিছনে গাড়ি থাকতে পারে না বা দরজা-৩ এর পিছনে গাড়ি থাকার সম্ভাবনা এখন ০ ( শূন্য )। এখন আপনি যদি দরজা-১ আর দরজা-৩ এর পিছনে গাড়ি থাকার মোট সম্ভাবনা থেকে দরজা-৩ এ গাড়ি থাকার সম্ভাবনা বাদ দিয়ে দেন । তাহলে দরজা-১ এর পিছনে গাড়ি থাকার সম্ভাবনা পেয়ে যাবেন।সুতরাং দরজা-১ এর পিছনে গাড়ি থাকার সম্ভাবনা= ২/৩ – ০ = ২/৩ !! এই সমাধানটাও  আপনাকে বলছে দরজা-১ এর পিছনে গাড়ি থাকার সম্ভাবনা ২/৩। যা দরজা-২ এর পিছনে গাড়ি থাকার সম্ভাবনা (১/৩) থেকে দ্বিগুণ।

তাই  গেমের দ্বিতীয় ধাপে আপনাকে যখন মন্টি মত পরিবর্তনের সুযোগ দিয়েছে। তখন আপনার মত পরিবর্তন করা উচিত। আর এই ভাবেই দৈনন্দিন জীবনে গণিত ব্যবহার করে আপনি এক ধাক্কায় বড় লোক হয়ে যেতে পারেন।

জীবন হোক গণিতময়।

তথ্যসূত্র :

১. সম্ভবত গণনাতত্ত্ব ও সম্ভাব্যতার গণিত। সৌমিত্র চক্রবর্তী।

2.Wikipedia