শূন্য থেকে সরলরেখাঃ সরলরেখার বীজগাণিতিক ব্যবচ্ছেদ।।প্রথম পর্ব

রাফির দুঃস্বপ্ন

ক্লাসের সবাই চুপচাপ বসে আছ, পুরো পিন ড্রপ সাইলেন্স। রাফি একটু অবাকই হচ্ছে– ফ্লোরে পিন পড়লে তো একটা টিং আওয়াজ হয়। এইটা আবার কেমন নীরবতা?

এই ভাবতে গিয়ে তার হাত থেকে কলম পড়ে গেল। রাফি ভয়ে ভয়ে কলমটা তুলে দেখে রফিক স্যার তার টেবিলের সামনে দাঁড়িয়ে আছে!

স্যার হাতের বেতটা ঘুরাচ্ছেন।

“রাফি, বাবা। তুমি কী করছিলে?”

“স্যার, কলমটা পড়ে গিয়েছিল…”

“বল তো, আমি এখন কী পড়াচ্ছি?”

“স্যার, সরলরেখার ঢাল।”

স্যার হাসি দিয়ে জিজ্ঞাসা করলেন, “বলো তো ঢাল কী?”

“স্যার, ঢাল হলো tanA। যেখানে A কোণের মান।”

রাফি ভয়ে অস্থির হয়ে গেছে। স্যার এখনও হাসছেন। নিশ্চয়ই ভয়ংকর কিছু হবে! খুব ভয়ংকর!

রাফি থতোমতো খেয়ে আবারও বলল,

“স্যার, ঢাল হলো– y এর পরিবর্তন ÷ x এর পরিবর্তন।”

রাফি কিছু বোঝার আগেই রফিক স্যার তার মাথায় বেত দিয়ে বাড়ি বসালো। রাফির মনে হলো, স্যারের হাতে কোনো বেত না, ধারালো ছুরি ছিল।

রাফির মাথা ফেটে গেছে, রক্ত বের হচ্ছে। রাফির পাশে বসা ছেলেটা অজ্ঞান হয়ে গেল। স্যার, এখনো রাফির মাথায় পিটাচ্ছেন আর বলছেন, দেখি তোর মাথায় কী আছে! কোনো ঘিলু তো নাই, আবার আমাকে ডিস্টার্ব করে। সাহস কত বড়!

স্যার চিৎকার দিয়ে বললেন, এই শাহেদ। এক গ্লাস লেবুর শরবত নিয়ে আয়। বেশি করে চিনি দিবি।

শাহেদ দৌড়ে কোথা থেকে যেন লেবুর শরবত আনল। স্যার লেবুর শরবত খেয়ে ফেললেন। স্যারের জিহ্বা কেমন লাল হয়ে গেছে।

সরলরেখার সমীকরণে ঢাল

রাফির প্রথম উত্তর ছিল, ঢাল মানে, tanA যেখানে A হলো কোণের মান। তারপর আবার বললো, ঢাল হলো, y এর পরিবর্তন ÷ x এর পরিবর্তন তার দুইটা উত্তরই সঠিক। কিন্তু প্রশ্ন হলো কেন?

প্রতিটা সরলরেখাই তো সোজা। তাই বলে সবই কী এক ধরনের? না, রেখাগুলোর মধ্যে কিছু রেখা বেশি খাড়া। আবার কিছু রেখা কম খাড়া। সরলরেখার এই বৈশিষ্ট্য, কোনটা কেমন (কতটুকু খাড়া) বোঝার জন্য ঢালের ধারণা আসল। কোনটা কতটুকু খাড়া সেটার ওপর ভিত্তি করে আমরা সরলরেখার বৈশিষ্ট্য বোঝতে পারি। যেমন,

AB, CD  উভয়ই সরলরেখা। রেখা দুটি কি দেখতে একই রকম? – না। AB, CD থেকে বেশি খাড়া। এখন শুধু খাড়া বললেই তো হবে না, মাপতেও হবে। কিন্তু কীভাবে মাপব? সেটা বুঝার জন্য, সরলরেখাকে অনুভব করতে হবে। সরলরেখা একটা নীতি মেনে চলে, সেটা হলো ভুজ আর কোটির সম্পর্ক। তাই ঢাল বুঝতে হলে,  x (ভুজ) এর সাথে y (কোটি) কত দ্রুত পরিবর্তিত হচ্ছে সেটা বুঝতে হবে। মূলত কতটুকু খাড়া হবে সেটা নির্ভর করে সরলরেখার পরিবর্তনের উপর। সরলরেখা যেহেতু একটা ফাংশন, তাই এর পরিবর্তন মানে হলো, ফাংশনের ভুজ-কটির পরিবর্তন।  গাণিতিকভাবে বলতে গেলে, x এর সাপেক্ষে y এর পরিবর্তনের উপর। এখন, স্বভাবতই প্রশ্ন হবে, ভুজ-কোটি, x অথবা y এগুলো কী? কোনো স্থানাংক ব্যবস্থায় কোটি দিয়ে মূলত বোঝায় “লম্ব” আর ভুজ হলো “ভূমি”। (ত্রিকোণমিতিতে এই ধারণাটা খুবই গুরুত্বপূর্ণ, কারণ সেখানে লম্ব-ভূমির অবস্থান পরিবর্তন বোঝার জন্য ভুজ-কোটির মানে বুঝতে হয়) তাহলে ঢাল কী? ভূমির পরিবর্তনের সাথে সাথে লম্বটা কিভাবে পরিবর্তন হয় তা বোঝা-ই ঢালের কাজ। অর্থাৎ, ভূমির সাথে লম্ব যত বেশি পরিবর্তিত হবে, রেখাটা তত খাড়া হবে। 

তাই এই খাড়া মাপতে গেলে x এর সাথে y এর কতটুকু পরিবর্তন হচ্ছে বা কীভাবে পরিবর্তিত হচ্ছে এটা মাপতে হবে। এখন মাপার জন্য যেটা আদর্শ ধরতে হয়, সেটা হলো x এর মান 1 বৃদ্ধি পেলে y এর মান কতটুকু বৃদ্ধি পাবে। অর্থাৎ একক মানে নিয়ে যেতে হবে। এখন প্রশ্ন হলো x এর মানের সাথে y এর মানের বৃদ্ধি কী জন্য গণনা করছি? কারণ y হলো উলম্ব তল। উলম্ব অংশের মান যত বাড়বে রেখাটা তত বেশি খাড়া হবে। যদি উলম্ব অংশের মান কমে তবে রেখাটা কম খাড়া হবে। জিনিসটা আরো ভালো করে বলি। 

y অক্ষে আমরা কী করি? – উপরে নিচে যাই। x অক্ষের ক্ষেত্রে ডানে বামে যাই। রেখাটা যতটুকু উপরে উঠবে তত খাড়া হবে। আর রেখাটা যেহেতু x এবং y দুই অক্ষ দিয়েই যায়। তাই আমরা x এর মান বৃদ্ধির সাথে y এর মান বৃদ্ধির হিসেবে করি। এখন y এর সাপেক্ষে x নিলে কী হয়? যেহেতু কতটুকু খাড়া আমরা সেটার মান বের করব। কতটুকু ফ্ল্যাট তার হিসাব করব না (কারণ আমি আমার ইচ্ছামতো কোনো রেখাকে বড় ছোট করতে পারি)। তাই x এর সাপেক্ষে y।

ঢালের গাণিতিক ব্যাখ্যা

কোনো রেখার দুটি বিন্দুর ঢালই রেখার ঢাল হবে। কারণ বিন্দু দুটো রেখার অংশ।এখন গণিতের চোখে দেখব, কী হয় ব্যাপারটা।

ধরি, AB রেখার দুটি বিন্দু (2,3) ও (4,9)।

xএর মান 2 বাড়লে y বৃদ্ধি পায় 6

x এর মান 1 বাড়লে y বৃদ্ধি পায় 6÷2=3

ঢাল= x এর মান 1 বাড়লে y এর মান কতটুকু বৃদ্ধি পায়।

তাই AB রেখার ঢাল 3।

মনে করি, অন্য একটি রেখার দুটি বিন্দু (x1,y1) ও (x2, y2)

x এর মান (x1-x2 )বৃদ্ধি পেলে y হয়(y1-y2)

x এর মান 1 বৃদ্ধি পেলে y হয় (y1-y2) ÷ (x1-x2)

ঢাল=(y1-y2) ÷ (x1-x2) এটা হলো ঢালের আদর্শ রূপ। কারণ এটা দিয়ে আমরা যেকোনো 2 বিন্দুর ঢাল বের করতে পারি।

একই সরলরেখার দুইটি বিন্দু থেকে ঢাল নির্ণয়

ঢাল=(y1-y2) ÷ (x1-x2)

ঢাল= ডেলটা y ÷ ডেলটা x

যেহেতু y অক্ষ বরাবর লম্ব, x অক্ষ বরাবর ভূমি। তাই ঢাল = tanA

এখানে A হলো সরলরেখা আর x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে কোণ। ধনাত্মক দিক কী? কার্তেসীয় ব্যবস্থায় x অক্ষের ডান দিককে ধনাত্মক ধরা হয়। তাই সরলরেখাটা x অক্ষের ডান দিকের সাথে যেই কোণ উৎপন্ন করে তাই A। আসলে, ঢালের প্রথম পরিচয় tanA না। এটা সর্বশেষ পরিচয়, যেটা দিয়ে ঢালকে সম্পূর্ণ বোঝা যায় না!

ঢালের প্রকারভেদ

এবারে আমরা ঢাল কত ধরনের হতে পারে সেটা দেখব। ঢাল মানে তো x এর সাপেক্ষে y এর পরিবর্তন। এই পরিবর্তনের উপর নির্ভর করে ঢালটা কেমন হবে।

চিত্রের দিকে তাকাই:

2 নং চিত্রে রেখাটা উপরের দিকে উঠে যাচ্ছে। এখানে আসলে কী ঘটছে। একটু ফোকাস করে দেখি। সরলরেখাটা তো চলমান। এই চলার সময় ভুজের মান যেমন বাড়ছে কোটির মানও বাড়ছে। মানে হলো x অক্ষের দিকে যেমন রেখাটা এগুচ্ছে y অক্ষেও উপরে উঠছে। x এর মানও বাড়ছে আবার y এর মানটাও বাড়ছে। যখন এভাবে রেখাটা যায় যে, x এর মানের সাথে y বৃদ্ধি পায় তখন রেখার ঢাল হয় positive বা ধনাত্মক। জিনিসটা গাণিতিকভাবেও সত্য। ধরি ২টা বিন্দু (০,৮) আর (-৫,০)। এই রেখাটার ঢাল,

m=(৮÷০)÷{o-(-৫)} = ১.৬ (ছবির রেখার সাথে এর সম্পর্ক নেই)। এখানে ঢালটা ধনাত্মক অর্থাৎ রেখাটা উপরে উঠছে। কেউ যদি ঐ বিন্দু দুটি নিয়ে গ্রাফ আঁকে তাহলে দেখা যাবে, x অক্ষে এক একক এগিয়ে গেলে y অক্ষে ১.৬ একক উপরে উঠবে। দুই ঘর এগিয়ে গেলে ৩.২ ঘর উপরে উঠে। আসলে এটা দিয়ে ঢালকে অনুভব করা যায়। ঢালের প্রমাণ পাওয়া যায়, আমরা যে শিখছি এটা নিছক কোনো ভাবনা নয় বোঝা যায়।

এখন ছবির ১নং চিত্রে তাকাই, এখানে রেখাটা নিচে নেমে আসছে। কেন, সেটাও বোঝা যায়। সেখানে রেখাটা x এর দিকে যত এগুচ্ছে y অক্ষে তত নিচে নেমে যাচ্ছে। মানে ভুজের মানটা বাড়ছে কিন্তু কটির মানটা কমছে।এখন গণিতের সাক্ষী নিব, আবারও দুটি বিন্দু নেই (০,৮) আর (৫,০)। এই রেখাটার ঢাল,m=(৮-০)÷(০-৫) = -১.৬। এখানে ঢালটা ঋণাত্মক কারণ x আর y এর সম্পর্ক বিপরীত ধর্মী। এটাকেও যদি গ্রাফে আঁকা হয়, দেখা যাবে, (০,০) বিন্দুতে y এর মান ৮ একক। যদি ভুজের মান এক বাড়াই কটির মান ১.৬ একক কমে গেছে। ২ বাড়ালে কমে ৩.২ পরিমাণ। মানে ঢাল মানে হলো একক মানের জন্য কতটুকু রেখাটা কী পরিমাণে উঠছে বা নামছে। এখন ঢাল মাপার ক্ষেত্রে মাপা হয় রেখাটা কতটুকু খাড়া। কিন্তু ঋণাত্মক ঢাল হলে তো রেখাটা নোয়ানো থাকে। তাই আমরা বলি -১.৬। অর্থাৎ ১.৬ পরিমাণ নেমে যাচ্ছে, কারণ মাইনস চিহ্ন।

এখন ছবির 4 নং কেস সলভ করি। সেখানে রেখাটা x অক্ষের সমান্তরাল। এই রেখায় আরেকটু ফোকাস করি, কী দেখা যায়? ওমা, এ তো অলসের অলস! একটু কাজও করে না। এই রেখায় ভুজের পরিবর্তন হয়েছে ঠিকই কিন্তু কটি সবসময় এক। এটা খাড়া না তাই এর কোনো ঢাল নেই। গণিতও সেটাই বলে ডেলটা y = ০। মানে ঢাল ০।

এবার 3 নং কেসটা দেখব। এই কেসটা খুবই সুন্দর। কিন্তু কেন? 3নং কেসে কী ঘটছে দেখি, সেখানে কোটির পরিবর্তন হচ্ছে ঠিকই কিন্তু ভুজের পরিবর্তন হচ্ছে না।

গাণিতিক স্টাইল:

ধরি একটা সরলরেখার দুইটা বিন্দু (5,3) ও (5,6)। ঐ সরলরেখার ঢাল,

m=(6-3)÷(5-5)=(3÷0)! এখন একটা মারাত্মক কাজ হয়ে গেছে। 3 কে আমরা 0 দিয়ে ভাগ করেছি। তাই ঢাল=অসংজ্ঞায়িত।

এখন কেন অসংজ্ঞায়িত সেটার অনুসন্ধান করব।

ঢাল কখন অসংজ্ঞায়িত হয়

আমরা জানি, ঢাল m=tanA। যেহেতু tan90° এর মান অসংজ্ঞায়িত তাই যে সরলরেখা y অক্ষের সমান্তরাল অর্থাৎ 90° তার ঢাল অসংজ্ঞায়িত।

কিন্তু তবুও মন মানতে চায় না। আচ্ছা, তাহলে গ্রাফ দিয়ে বুঝার চেষ্টা করি। y অক্ষের সমান্তরাল একটা রেখা কল্পনা কর। এখন এই রেখার পরিবর্তনটা একটু দেখি। দেখ এখানে x এর কোনো পরিবর্তন হচ্ছে না। কিন্তু y এর পরিবর্তন হচ্ছে। যদি এতটুকু সুন্দরভাবে বুঝতে পারো তাহলে জিনিসটা অনেক সহজ হয়ে যাবে। মনে করি, রেখাটা শুধু x অক্ষের (3,0) বিন্দু দিয়ে গেছে। এখন প্রশ্ন হলো ঐ সরলরেখার ভুজের মান তো 3 কিন্তু কোটির মানটা কী হবে? এই জায়গায় হল সমস্যা। একজন বলল, কোটির মান 2। অন্যজন বলল, না, কোটির মান 5। দুজনের মধ্যে তুমুল তর্ক। পরে তারা এক গণিতবিদের কাছে গেলেন। জিজ্ঞেস করলেন, কোটির মান কত। এখন গণিতবিদ জিনিসটা দেখলেন পরে বললেন। দেখ এখানে আমরা কোটির মান অনেকগুলো পাচ্ছি, নির্দিষ্ট কোনো একটি মান পাচ্ছি না। কারণ সরলরেখার একপ্রান্ত +∞ ও অন্য প্রান্ত -∞ এর দিকে চলে গেছে। তাই এই রেখার ঢাল অসীম বা অসংজ্ঞায়িত।

যখন একটা ফাংশনের মান ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অসীমে চলে যায় তখন আমরা বলি এই ইনপুটের বা ডোমেনের জন্য ফাংশনের মান অসংজ্ঞায়িত। সরলরেখার সমীকরণও এক ধরণের ফাংশন। যদি কোনো ক্ষেত্রে গ্রাফটা একটা মানের জন্য ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অসীমে চলে যায় তখনই সেটা অসংজ্ঞায়িত হয়। আসলে ফাংশনে একটা নিদিষ্ট ডোমেনের জন্য নিদিষ্ট রেন্জ পেতে হবে। যখন আমরা রেঞ্জের মান সম্বন্ধে নিশ্চিত হতে পারি না তখন সেটা হয় অসংজ্ঞায়িত। এখানেও আমরা y এর মান সম্পর্কে অনিশ্চিত তাই এই রেখার ঢাল অসংজ্ঞায়িত।

একটু মজা- আচ্ছা, রেখাংশ তো সসীম। কিন্তু রেখাটা হচ্ছে অসীম। কেন?

সংখ্যারেখার ব্যাপারটা এমন, সংখ্যারেখার ডানে থাকে ধনাত্মক সংখ্যা আর বামে ঋণাত্মক। গণিতে অসীম সংখ্যক ধনাত্মক সংখ্যা আছে। কেউ যদি সসীম সংখ্যক ধনাত্মক সংখ্যা তবে সে বিপদে পরে যাবে। যদি সে চিন্তা করে সবচেয়ে বড় সংখ্যা কোনটি? ঋণাত্মক সংখ্যার ক্ষেত্রেও একই রকম, অসীম সংখ্যক ঋণাত্মক সংখ্যা। তাই সংখ্যারেখা চলমান রাখা হয়। বোঝানো হয় এখানে শেষ না, এটা অসীম পর্যন্ত চলবে। আবার সংখ্যারেখায় 0 থেকে 1 যে ঘরটা সেটার কথা চিন্তা করো। ঐ ঘরে কয়টা সংখ্যা আছে। সেটাও অসীম সংখ্যক। অথচ 0 আর 1 এর ব্যবধান কিন্তু 1। আর আমরা এতক্ষণ যে রেখার ঢাল নির্ণয় করেছি ঐ ধরনের রেখা নিয়ে চিন্তা করি। ধরি একটা রেখার সমীকরণ দেওয়া আছে, x+y=8। এটা দিয়ে কি বোঝায়? এটা দিয়ে এমন সকল ভুজ ও কোটির সম্পর্ক বোঝায় যাদের যোগফল 8। যেমন, (1,7), (3,5), (-1,9) এমন অসংখ্য বিন্দু। এখন এই সমীকরণের গ্রাফ করলে দেখা যাবে রেখাটা উক্ত বিন্দু দিয়ে চলছে। যেহেতু এমন বিন্দু অসীম সংখ্যক। তাই আমরা দেখাই রেখাটা চলছে।

আসলে গণিত বিষয়টি অনেক সুন্দর। শুধু একটু ভিন্নভাবে দেখতে হবে, চিন্তা করতে হবে!

বি দ্র লেখাটা সিরিজ আকারে চলবে।

তথ্যসূত্রঃ

• https://youtu.be/_QFkRcAN1x0  
• প্রাণের মাঝে গণিত বাজে: জ্যামিতির জন্য ভালোবাসা—সৌমিত্র চক্রবর্তী 
• ইউক্লিড ও এলিমেন্ট — আসিফ