ডট গুণের অনেক গুণ

কখনো কি ভেবেছেন ডট গুণনে আমরা যে লেখি  $\vec{U} \cdot \vec{V} = UV \cdot \cos(\theta)$ এইটা আসলে কেনই বা লেখি? পদ্ধতিটা আসলো কিভাবে? 

কেউ একজন কি ধুম করে এইটা ডিফাইন করে দিল আর আমরা মেনে নিলাম?

ব্যাপারটা কি তাই?

নাকি এইটার ভিতরও লুকিয়ে আছে সূক্ষ্ম কোন চিন্তার ছাপ?

চলুন, আজকে আমরা সেটাই দেখব। 

ধরি, 

$\vec{U} = u_1 \hat{i} + u_2 \hat{j}$  আর 

$\vec{V} = v_1 \hat{i} + v_2 \hat{j}$ 

তাহলে, আমাদের সূত্র মতে, $\vec{U} \cdot \vec{V} = u_1u_2 + v_1v_2 = UV \cdot \cos(\theta)$

কিন্তু, $u_1u_2 + v_1v_2 = UV \cdot \cos(\theta)$ হবেই সেটা আমরা কিভাবে বুঝলাম?

এটাই আমাদের আজকের আলোচ্য বিষয়।

তাহলে চলুন আলোচনা শুরু করা যাক।

ভেক্টরগুলোকে নিম্নোক্তভাবেও লিখা যায়,

$\vec{U} = U \cos(\theta_1) \hat{i} + U \cos(\theta_2) \hat{j}$ আর

$\vec{V} = V \cos(\theta’_1) \hat{i} + V \cos(\theta’_2) \hat{j}$

যেখানে, $θ_1$,$θ’_1$ হলো $x$ অক্ষের সাথে উৎপন্ন কোণ আর $θ_2$, $θ’_2$ হলো $y$ অক্ষের সাথে উৎপন্ন কোণ।

এবং $\theta_1 = 90^\circ – \theta_2$ ও $\theta_1 = 90^\circ – \theta_2$

( $sin$ অনুপাত ব্যবহার না করে এইভাবে লিখার কারণ হায়ার ডাইমেনশনে গেলে বুঝবেন)

আচ্ছা, তাহলে এইবার আমরা দেখি,

$\vec{U} \cdot \vec{V}$

$=U \cos(\theta_1) \cdot V \cos(\theta’_1) + U \cos(\theta_2) \cdot V \cos(\theta’_2)$

$=UV \left(\cos(\theta_1)\cos(\theta’_1) + \cos(\theta_2)\cos(\theta’_2)\right)$

$=UV{\cos(\theta_1)\cos(\theta’_1) + \sin(\theta_1)\sin(\theta’_1)}$ [ যেহেতু, $\theta_1 = 90^\circ – \theta_2$ ও $\theta_1 = 90^\circ – \theta_2$ ]

$=UV \cos(\theta_1 \sim \theta’_1)$ [ যেখানে, “$\sim$” চিহ্নটি দ্বারা পার্থক্য বুঝানো হয়, যেহেতু আমরা জানিনা কোন কোণটা বড় ]

এইবার হলো বুঝার জিনিস।

নিচের ছবিটা দেখেন:

এই ছবি হতে আমরা দেখতে পাই, $θ = θ_1-θ’_1 =$ $\vec{U}$ ও $\vec{V}$ এর মধ্যবর্তী কোণ।

তাহলে, $\vec{U} \cdot \vec{V} = UV \cos(\theta)$

তাহলে কি বুঝা গেল দুইটা ভেক্টরের ডট গুণ কেন এদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইনের সমানুপাতিক?

আচ্ছা এইবার আসি 3D ভেক্টরে।

 

3D ভেক্টরদ্বয়,

$\vec{U} = u_1 \hat{\mathbf{i}} + u_2 \hat{\mathbf{j}} + u_3 \hat{\mathbf{k}}$ ও

$\vec{V} = v_1 \hat{\mathbf{i}} + v_2 \hat{\mathbf{j}} + v_3 \hat{\mathbf{k}}$

হলে এদেরকে নিম্নোক্তভাবেও লিখা যায়,

$\vec{U} = U \cos(\theta_1) \hat{\mathbf{i}} + U \cos(\theta_2) \hat{\mathbf{j}} + U \cos(\theta_3) \hat{\mathbf{k}}$ আর

$\vec{V} = V \cos(\theta’_1) \hat{\mathbf{i}} + V \cos(\theta’_2) \hat{\mathbf{j}} + V \cos(\theta’_3) \hat{\mathbf{k}}$

যেখানে $θ_1$,$θ’_1$ হলো $x$ অক্ষের সাথে, $θ_2$,$θ’_2$ হলো $y$ অক্ষের সাথে, $θ_3$,$θ’_3$ হলো $z$ অক্ষের সাথে যথাক্রমে $\vec{U}$ আর $\vec{V}$ এর উৎপন্ন কোণ।

এবার কিন্তু আর কোন দুইটাকে পরস্পরের পূরক কোণ আকারে লেখা যাবে না, কারণ এরা সম্পূর্ণ পরস্পর নিরপেক্ষ কোণ অর্থাৎ এদের মান যা ইচ্ছা তাই হতে পারে। অর্থাৎ, এদের যোগফল কোন নির্দিষ্ট মান হওয়ার বাধ্যবাধকতা নাই।

তাহলে এইবার ডট প্রোডাক্টটা দেখতে কেমন হবে?

$\vec{U} \cdot \vec{V} = UV \left(\cos(\theta_1)\cos(\theta’_1) + \cos(\theta_2)\cos(\theta’_2) + \cos(\theta_3)\cos(\theta’_3)\right)$

এখন বুঝবেন 2D তে সাইন না দিয়ে কেন cos অনুপাত ব্যবহার করেছি।

কারণ, এখন দেখুন তো 3D তে সেকেন্ড ব্র‍্যাকেটের ভিতরের জিনিসটা কি কোন পরিচিত সূত্রে পড়ে?

অনেকেই বলবেন, না। পড়ে না তো।

তাহলে তো, $\cos(\theta_1)\cos(\theta’_1) + \cos(\theta_2)\cos(\theta’_2) + \cos(\theta_3)\cos(\theta’_3) = \cos(\theta)$ হবে না।

তাহলে কি উপরের সূত্রটা ভুল?

উত্তর হলো, না। ভুল না।

সমস্যা হলো আমাদেরকে এইসকল সাইন কসের সূত্রের কেবল $2D$ ভার্সন পড়ানো হয়েছে। $3D$ ভার্সন আমরা অনেকেই পড়িনাই।

$3D$ ভার্সনেও $\cos(\theta_1)\cos(\theta’_1) + \cos(\theta_2)\cos(\theta’_2) + \cos(\theta_3)\cos(\theta’_3) = \cos(\theta)$ হবে।

অর্থাৎ, র‍্যান্ডম তিনটা তিনটা করে প্যাক করে দুই প্যকে মোট ছয়টা কোণ দেয়া থাকলে, এদের সদৃশ কোণের $cosine$ অনুপাতের গুণফলের যোগফল হবে ওই প্যাক বরাবর একক ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন অনুপাত।

এমনকি $4$,$5$,……….এমন হায়ার ডাইমেনশনেও এই সূত্র খাটবে, কোন অসুবিধা হবে না। খালি তখন কোন $3$ টার বদলে $4$,$5$,…..টা হবে অর্থাৎ, যত ডাইমেনশন ততগুলো কোণ, কারণ প্রত্যেকটা ভেক্টর তখন ততগুলো অক্ষের সাথে ততগুলো কোণ তৈরি করবে।

এইটাকে যেকোন ডাইমেনশনের জন্য এইভাবেও লেখা যায়, $\sum \cos(\alpha_i)\cos(\beta_i) = \cos(\theta)$ যেখানে, $i$ এর মান $1$ থেকে n পর্যন্ত হয়, যেখানে $n$ দ্বারা ডাইমেনশন সংখ্যা বুঝানো হয়

তাহলে ডট গুণের সূত্র সবগুলোকে যদি আমরা একসাথে দেখতে চাই যেকোন ডাইমেনশনের জন্য, তাহলে তা হবে,

$\vec{U} \cdot \vec{V} = \sum u_i v_i = UV \sum \cos(\alpha_i)\cos(\beta_i) = UV\cos(\theta)$

আশা করি এবার বুঝতে পেরেছেন, কেন $u_1v_1 + u_2v_2 = UV \cos(\theta)$ হবেই।