সম্ভাবনাময় অতীত

পর্ব-১: সম্ভাবনার অ-আ ক-খ

আচ্ছা, অতীতকে কি নিয়ন্ত্রণ করা যায়?

রাতেরবেলা আকাশের দিকে তাকিয়ে তারা গুনতে গুনতে কখনো কি হঠাৎ মনে ইচ্ছা জাগে, ইশ! যদি নিজের অতীতটাকে একটু ভালোভাবে গড়ে তুলতে পারতাম? যদি মনে হয়, তাহলে এই লেখাটা আপনার জন্য।

[বি:দ্র: এই লেখাটা সম্ভাবনা নিয়ে লেখা। এখানে আমি দেখাতে চেষ্টা করব, আপনি আপনার অতীতের কোন একটা কাজে সফল হওয়ার সম্ভাবনা পরিবর্তন করতে পারেন]

এই লেখাটা কয়েকটা পর্বে ভাগ করতে হচ্ছে যাতে লিখতে ও পড়তে সুবিধা হয়। তাহলে চলুন, শুরু করা যাক।

আচ্ছা, সম্ভাবনা কি? আমরা যে বলি, কাল বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা প্রবল, এটা বলতেই বা আমরা আসলে কি বুঝি? আসলে সম্ভাবনা জিনিসটার সংজ্ঞা দেয়া এতটা সহজ না। সম্ভাবনার সংজ্ঞা দিতে গেলে আমরা একটা লুপহোলের মধ্যে পড়ে যাই। 

কিভাবে?

সম্ভাবনার সংজ্ঞা দিতে গেলে, সংজ্ঞার ভিতরে প্রত্যক্ষ কিংবা পরোক্ষভাবে আমাদেরকে সম্ভাবনার ধারণাই ব্যবহার করতে হয়। অর্থাৎ, ব্যাপারটা এমন যে, ডিমের সংজ্ঞা আপনি দিচ্ছেন ডিম দিয়ে। যেমন, সম্ভাবনা(Probability)-র যে সংজ্ঞাটি সবচেয়ে বেশি ব্যবহার করা হয়, সেটি হলো,

“Probability is a measure of the likelihood of an event to occur”

সোজা বাংলায় বললে, সম্ভাবনা হলো, কোন একটা ঘটনা ঘটার যে সম্ভাব্যতা, তার একটা পরিমাপ। কিন্তু, এই পরিমাপটা আমি করব কি দিয়ে? সেটা আবার আমরা করব সম্ভাবনা দিয়ে। অর্থাৎ, সম্ভাবনার সংজ্ঞা দিচ্ছি সম্ভাবনা দিয়ে।

অবশ্য, এতে আমাদের সম্ভাবনা জিনিসটা কি, সেটা বুঝতে খুব একটা অসুবিধা হয় না। কারণ, এই জিনিসটা আমরা প্রতিনিয়ত এতবার এতভাবে ব্যবহার করি যে, এইটা কি, সেটা আমাদের মাথায় মোটামুটি সেট হয়ে গেছে। আকাশে মেঘ দেখলে একটা বাচ্চাও বলে, আহ বৃষ্টি হতে পারে। অর্থাৎ, বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা বেশি আজকে। এর থেকেই বুঝা যায়, সম্ভাবনা জিনিসটাকে একদম পার্ফেক্টলি সংজ্ঞায়িত করতে না পারলেও, জিনিসটা কি, সেটা আমরা সবাই-ই কমবেশি বুঝি।

সম্ভাবনা তাহলে কি?

সম্ভাবনা, একদম সহজে বলতে চাইলে, কোন একটা পরীক্ষা ( যেমন ধরেন মুদ্রা নিক্ষেপ) করলে কোন একটা ঘটনা ( যেমন ধরেন মুদ্রা নিক্ষেপে হেড আসা) যে ঘটবে, তার সম্ভাব্যতা বুঝার একটা উপায়।

সম্ভাবনা কি বুঝা হলে, এবার কিছু বেসিক জিনিস বোঝা লাগবে আমাদের।

নমুনাক্ষেত্র(Sample Space)

কোন একটা পরীক্ষায় যে সকল ঘটনা ঘটতে পারে, সেই সকল ঘটনার সেটই হলো নমুনাক্ষেত্র। এইটাকে সাধারণত $\Omega$ দিয়ে প্রকাশ করা হয়। যেমন ধরেন, একটা কয়েন একবার টস করা হলে, তার নমুনাক্ষেত্র হবে, $\Omega = \{H, T\}$. আবার,  কয়েন দুইবার টস করা হলে তার নমুনাক্ষেত্র হবে, $\Omega = \{HH, HT, TH, TT\}$.

ঘটনাক্ষেত্র(Field of Events)

নমুনাক্ষেত্রের সকল উপসেট, যেই সেটের অন্তর্ভুক্ত, সেটাই হলো ঘটনাক্ষেত্র। সোজা কথায়, $\Omega$  এর শক্তি সেট(power set)। অর্থাৎ, কোন একটি পরীক্ষায় যেসকল ঘটনা ঘটতে পারে, সেইসকল ঘটনা নিয়ে গঠিত সেট হলো ঘটনাক্ষেত্র। এইটাকে সাধারণত F দিয়ে লেখা হয়। যেমন, একটা কয়েন টস করলে তার নমুনাক্ষেত্র হয়, $\Omega = \{H, T\}$. তাহলে, এর ঘটনাক্ষেত্র, $F = \{ \{H\}, \{T\}, \{H,T\}, \Phi \}$ এবার একটা একটা করে উপসেটের মানে বুঝাই। $\{H\}$ মানে হলো যেকোন পরীক্ষায় খালি হেড আসার ঘটনা। একইভাবে, $\{T\}$ হলো কেবল টেইল আসার ঘটনা। $\{H, T\}$ হলো হেড অথবা* টেইল আসার ঘটনা। আর $\Phi$ হলো, হেড বা টেইল কোনটাই না আসার ঘটনা।

এখানে, $\{H\}$, $\{T\}$ এর মতো যেসব ঘটনার উপাদান মাত্র একটি, তাদেরকে বলা হয় সিম্পল ইভেন্ট (simple event), আর $\{H, T\}$ এর মতো যেসব ঘটনায় একের অধিক উপাদান থাকে, তাদেরকে বলা হয় কম্পাউন্ড ইভেন্ট (compound event)। এখানে খেয়াল রাখতে হবে যে, $\{HT\}$ আর $\{H, T\}$ এক জিনিস না। $\{HT\}$ একটা সিম্পল ইভেন্ট যেটা বুঝায় একটা কয়েন দুইবার টস করা হলে প্রথমে হেড এবং* দ্বিতীয়বার টেল আসার ঘটনা। আর, $\{H, T\}$ বুঝায়, কয়েন একবার টস করা হলে, হেড অথবা* টেইল আসার ঘটনা। দুইটা ঘটনা সম্পূর্ণ ভিন্ন। 

এবার তাহলে সম্ভাবনার গাণিতিক সংজ্ঞা দেয়া যাক।

সম্ভাবনার গাণিতিক সংজ্ঞা সাধারণত দুইভাবে দেয়া হয়ে থাকে।

চিরায়ত সংজ্ঞা

এই সংজ্ঞাটাই আমরা সবাই শিখি। এটার গাণিতিক রূপ হলো,

         $P(\text{event}) = \frac{n(\text{event})}{n(\Omega)}$

($n(\text{something})$ মানে হলো,ওই সেটের উপাদান সংখ্যা)

অর্থাৎ, 

ধরেন, আপনি জানতে চান, কয়েন একবার টস করা হলে, হেড আসার সম্ভাবনা কত। তাহলে, 

      $P(H) = \frac{n(\{H\})}{n(\{H,T\})} = \frac{1}{2}$

*প্রশ্ন: হেড বা টেইলস কোনটাই না আসার সম্ভাবনা কত?*

রিলেটিভ ফ্রিকোয়েন্সি ডেফিনিশন

এই সংজ্ঞাটা পরীক্ষা নির্ভর উপাত্তের উপর নির্ভর করে। এই সংজ্ঞা মতে, কোন একটা ঘটনা ঘটার ফ্রিকোয়েন্সি, 

            $f(\text{event}) = \frac{N(\text{event})}{N(\text{Total})}$

এখানে, $N(\text{Total})$ হলো, মোট যতবার পরীক্ষাটা করা হয়েছে, আর $N(\text{event})$ হলো, ওই ঘটনাটা কতবার ঘটেছে।

এখান থেকে সম্ভাবনার সংজ্ঞা এইভাবে দেয়া হয়,

 $P(\text{event}) = \lim_{N(\text{Total}) \to \infty} \frac{N(\text{event})}{N(\text{Total})}$

অর্থাৎ, কোন একটা পরীক্ষা অসীম সংখ্যক বার পুনরাবৃত্তি করা হলে, ঘটনাটা যতবার ঘটবে ও পরীক্ষাটা যতবার করা হয়েছে, তার অনুপাত।

সম্ভাবনার সর্বোচ্চ মান ১ এবং সর্বনিম্ন মান ০। অর্থাৎ, 

    $0 \leq P(\text{event}) \leq 1$

এখানে, কয়েক ধরনের ঘটনার কথা বলে রাখি, পরে আমরা এগুলোর বিস্তারিত দেখব।

সমসম্ভাব্য ঘটনা

কোন পরীক্ষায়, যেসকল ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা সমান হয়, সেই সকল ঘটনাকে পরস্পর, সমসম্ভাব্য ঘটনা বলে। যেমন, একটা কয়েন টস করলে হেড আসা এবং টেইল আসার সম্ভাবনা সমান, তাই এরা পরস্পর সমসম্ভাব্য ঘটনা।

নির্ভরশীল ঘটনা

কোন ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা যদি অন্য কোন ঘটনা ঘটার উপর নির্ভর করে, তবে তাদেরকে পরস্পর নির্ভরশীল ঘটনা বলে। [এর বিস্তারিত আমরা সামনে জানব]

অনির্ভরশীল ঘটনা

কোন ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা যদি অন্য কোন ঘটনার উপর নির্ভর না করে, তবে তাদেরকে পরস্পর অনির্ভরশীল ঘটনা বলে। [ এর বিস্তারিতও আমরা ভবিষ্যতে দেখব]।

নিশ্চিত ঘটনা

কোন পরীক্ষায় যেসব ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা ১ অর্থাৎ,  ঘটনাটা অবশ্যই ঘটবে, সেইসব ঘটনা হলো নিশ্চিত ঘটনা। যেমন, কয়েন একবার  টস করলে $\{H, T\}$ ঘটার সম্ভাবনা ১, অর্থাৎ,  হেড অথবা টেইলস এর মধ্যে যেকোন একটি অবশ্যই ঘটবে।  তাই এটি একটি নিশ্চিত ঘটনা।

অসম্ভব ঘটনা

কোন পরীক্ষায় যেসব ঘটনা ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা ০, তাদেরকে অসম্ভব ঘটনা বলে। অর্থাৎ, এরা কখনোই ঘটবে না। যেমন, আগামীকাল সূর্য পশ্চিম দিকে উঠার সম্ভাবনা কিংবা ছক্কায় ৭ আসার সম্ভাবনা ০, তাই এটি একটি অসম্ভব ঘটনা। 

বর্জনশীল ঘটনা

যদি কোন কোন পরীক্ষায় একটা ঘটনা ঘটলে, অন্য একটি ঘটনা ঘটতে পারে না, তবে তাদেরকে পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা বলে। যেমন, কোন কয়েনকে ১ বার টস করা হলে যদি হেড আসে, তাহলে টেইলস আসতে পারে না, তাই এরা পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা।

এখানে একটা বিষয় লক্ষ্য রাখা উচিত। এখানে সকল কিছু আদর্শ ধরে হিসাব করা হয়েছে। যেমন, কয়েন টসিং এর যে উদাহরণগুলো দেয়া হয়েছে, সেখানে হেড আর টেইল এর মাঝে কিছু ধরা হয়নি (যেমন কয়েন দাঁড়িয়ে যাওয়া)। সাধারণত আমরা যেসব হিসাব করি, সেগুলোতে আমাদের যেসকল ঘটনা দরকার, সেগুলোকে বিবেচনায় নেই, তাই বাকি ঘটনাগুলো বাদ দেয়া হয়। আবার, হেড,  টেইল এর সম্ভাবনা সমান ধরা হয়েছে যেটা না-ও হতে পারে। তারপরও সকল সংজ্ঞা ও সূত্র একই থাকবে।

পরের পর্বে আমরা সম্ভাবনার বেসিক কিছু সূত্র এবং সেগুলোর প্রমাণ দেখব।

তথ্যসূত্র:

• Probability – Wikipedia
• Probability: the basics (article) | Khan Academy
• Probability in Maths – Definition, Formula, Types, Problems and Solutions