ফ্যাক্টোরিয়াল আর স্টার্লিং এর এপ্রক্সিমেশন

ধরা যাক, আপনার কাছে n টি আলাদা রঙের বল আছে। আপনি এদেরকে কতভাবে এক লাইনে সাজাতে পারেন? এই সহজ প্রশ্নটির উত্তর হলো n! যাকে আমরা পড়ি n ফ্যাক্টোরিয়াল। উদাহরণস্বরূপ, লাল (R), কালো (B), সাদা (W) এই তিন রঙের বল থাকলে আমরা RBW, RWB, BRW, BWR, RWB, RBW এই ছয় উপায়ে এদের এক লাইনে সাজাতে পারি। কাজেই 3!=6।

আমরা প্রথমে চেষ্টা করি $n!$ কে কোন সাধারণ সূত্র দিয়ে লেখা যায় কিনা।

খেয়াল করি, এক লাইনে $n$ টি বস্তুকে সাজাতে গেলে আমরা $n$ টি আলাদা ঘর চিন্তা করতে পারি। আমাদের কাজ বস্তুগুলোকে সেই ঘরে একেক ক্রমে বসানো। এখন, প্রথম ঘরের জন্য আমাদের $n$টি অপশন আছে, একটা বসানোর পর অবশিষ্ট $(n-1)$ ঘরে আবার বাকি $(n-1)$ টি বস্তুকে বসাতে হবে, যা আমাদের সংজ্ঞা অনুসারে $(n-1)!$ টি উপায়ে বসানো যায়। তাহলে মোট উপায় $n.(n-1)!$, কাজেই $n!=n(n-1)!$

এখন আমরা এভাবে আগাতে থাকলে কী হবে?

$ n=n(n-1)!= n(n-1)(n-2)!=…. $ এভাবে চলতে চলতে আমরা একটা পর্যায়ে থেমে যেতে পারি। সেটা কখন? যখন $1!$ আসবে তখন আমরা জানি যে $1!=1$ কেননা একটি বস্তুকে কেবল একভাবেই সাজানো যায়।

কাজেই আমরা দেখতে পাচ্ছি, $ n!=n(n-1)(n-2)….3.2.1 $ অর্থাৎ $n!$ আসলে $1$ থেকে $n$ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর গুণফল বৈ কিছুই নয়! এই রেজাল্টটি যথেষ্ট ইন্টারেস্টিং। তো আমরা চেষ্টা করবো ব্যাপারটিকে আরো ইন্টারেস্টিং করার।

$0!$ কী হতে পারে? আমরা একে চাইলে $n!=n(n-1)!$ অনুসারে সংজ্ঞা দিতে পারি। $n=1$ হলে আমরা বলতে পারি, $1!=1.0!$ বা $0!=1$ হয়। কাজেই আমরা $0!=1$ ডিফাইন করতে পারি। এখন খেয়াল করি যে $n$ বাড়ার সাথে সাথে $n!$ এর মান বেশ দ্রুত বাড়তে থাকে। এই অবস্থায় কি আমরা এমন কোন ফর্মুলা বের করতে পারি যা মোটামোটি নিখুঁতভাবে $n!$ এর মান দিতে পারবে?

তো আমরা প্রথমে চেষ্টা করি $n$ এর বিভিন্ন মান গ্রাফে বসিয়ে কিছু ভাবা যায় কিনা।

একটু খেয়াল করি, আগের মতোই, $n!=n(n-1)!$ এ $n=0$ বসালে কিন্তু $(-1)!$ অসংজ্ঞায়িত হয়ে যায়। তাহলে এই বিষয়টি মাথায় রেখে আমরা পয়েন্টগুলো যোগ করলে আমরা নিচের মতো গ্রাফ পাই:

আচ্ছা এখান থেকে কি এমন কোন ফাংশন চিন্তা করা যায়, যা কিনা $100\%$ এর সাথে মিলে যাবে? হ্যাঁ, আমাদের ভাগ্য ভালো আমরা এমন একটা ফাংশন পেয়ে গেছি গণিতে। সেটা হলো,
$$n!=\displaystyle \int_{0}^{\infty} \mathrm dx \, x^{n} e^{-x}$$

কীভাবে? আমরা প্রথমে দেখাবো যে $n=0$ এর জন্য সমাকলনটি আমাদেরকে $1$ দেয়। $n=0$ এর বেলায়:
$$\displaystyle \int_{0}^{\infty} \mathrm dx \, e^{-x} = \left[ -e^{-x} \right]_0^{\infty} = 0 – (-1) = 1$$

$n=0$ এর জন্য সমাকলনটি $1$ দেয়।
এবার আমরা ফ্যাক্টোরিয়ালের রিকার্সিভ ইক্যুয়েশনটি আনার চেষ্টা করবো।
\begin{align} I_{n} &=\displaystyle \int_{0}^{\infty} \mathrm d x \, x^{n} e^{-x} \\&=-\int_{0}^{\infty} x^{n} d\left(e^{-x}\right) \\&=-\left[x^{n} e^{-x}\right]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty} e^{-x} d\left(x^{n}\right) \\&=0+ n \int_{0}^{\infty} \mathrm d x \, x^{n-1} e^{-x}\\&=n I_{n-1} \end{align}

কাজেই $I_{0}=1$ এবং $I_{n}=nI_{n-1}$

এখন আমরা অল্পকিছু হিসেব নিকেষ করবো। $$g(x)= x^{n}e^{-x}=e^{-x+n.\ln(x)}= e^{-f(x)}$$ যেখানে $f(x)= x-n.\ln(x)$

এখন খুব সহজেই আমরা দেখাতে পারি, $g(x)$ অনেকটাই bell shaped ($x>0$ এর জন্য)। নিচের গ্রাফ থেকে বিষয়টি বুঝা যায়:

আমরা $g(x)$ বা $f(x)$ এর maxima পাই $x=n$ এর জন্য। কাজেই আমরা যদি $x=n$ এর আশে পাশে $f(x)$ কে টেইলর সিরিজে ভাঙি তাহলে এরকম একটা রেজাল্ট পাই, $$f(x)=f(n)+ f'(n)(x-n)+\frac{f^”(n)}{2!}(x-n)^2+O((x-n)^3)$$ কাজেই $$f(x)= n-n.\ln(n)+\frac{(x-n)^2}{2n}+O((x-n)^3)$$

সুতরাং আমরা উচ্চতর ঘাতের টার্মগুলোকে বাদ দিয়ে $g(x)$ কে এভাবে এপ্রক্সিমেট করতে পারি: $$g_{app}(x)=e^{-f(x)}=n^n.e^{-n}.e^{-\frac{(x-n)^2}{2n}}$$

এখন $n!=\int g(x)dx$, আমরা খেয়াল করলে দেখতে পাই দুটো ফাংশনের [মূল $g(x)$ ও এপ্রক্সিমেটেড $g(x)$] এর কার্ভের নিচের এরিয়া প্রায় একই:

কাজেই আমরা $n!$ কে এপ্রক্সিমেটলি লেখতে পারি,
\begin{align} n! &= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm d x \, g_{a p p}(x) \\ &=\left(\frac{n}{e}\right)^{n} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm d x\,
e^{-\frac{(x-n)^{2}}{2 n}} \\ &=\sqrt{2 n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm d y \, e^{-y^{2}} \tag*{$[\because y=\frac{x-n}{n\sqrt{2}}]$} \end{align}

এখন আমরা জানি যে শেষের ইন্টিগ্রেশনটির মান $\sqrt{\pi}$ (কীভাবে?) কাজেই, $$n!=\left(\frac{n}{e}\right)^n\sqrt{2n\pi}$$

এই ফর্মুলাই স্টার্লিং এর এপ্রক্সিমেশন নামে পরিচিত। তবে আমরা আরো ভালো একটা এপ্রক্সিমেশন পাই যদি আমরা এরিয়া ক্যালকুলেশনের সময় আরেকটু কারেকশন করি, সেক্ষেত্রে ফর্মুলাটা দাঁড়ায়: $$n!=\left(\frac{n}{e}\right)^n\sqrt{\left(2n+\frac{1}{3}\right)\pi}$$ আমরা $0^0=1$ ধরলে এক্ষেত্রে তা $n=0$ এর জন্যও ভালো কাজ করে। $n$ যত বাড়ে, স্টার্লিং এর ফর্মুলাও তত নিখুঁত ফলাফল দিতে থাকে। স্ট্যাটিস্টিক্যাল মেকানিক্স, প্রোবাবিলিটি থিওরি, র‍্যান্ডম সিগন্যাল প্রসেসিংসহ বিভিন্ন শাখায় এই স্টার্লিং এপ্রক্সিমেশনের বিপুল ব্যবহার রয়েছে।

তাহলে আজ এই পর্যন্তই!