ফ্যাক্টোরিয়াল আর স্টার্লিং এর এপ্রক্সিমেশন

ধরা যাক, আপনার কাছে n টি আলাদা রঙের বল আছে। আপনি এদেরকে কতভাবে এক লাইনে সাজাতে পারেন? এই সহজ প্রশ্নটির উত্তর হলো n! যাকে আমরা পড়ি n ফ্যাক্টোরিয়াল। উদাহরণস্বরূপ, লাল (R), কালো (B), সাদা (W) এই তিন রঙের বল থাকলে আমরা RBW, RWB, BRW, BWR, RWB, RBW এই ছয় উপায়ে এদের এক লাইনে সাজাতে পারি। কাজেই 3!=6।

আমরা প্রথমে চেষ্টা করি $n!$ কে কোন সাধারণ সূত্র দিয়ে লেখা যায় কিনা।

খেয়াল করি, এক লাইনে $n$ টি বস্তুকে সাজাতে গেলে আমরা $n$ টি আলাদা ঘর চিন্তা করতে পারি। আমাদের কাজ বস্তুগুলোকে সেই ঘরে একেক ক্রমে বসানো। এখন, প্রথম ঘরের জন্য আমাদের $n$টি অপশন আছে, একটা বসানোর পর অবশিষ্ট $(n-1)$ ঘরে আবার বাকি $(n-1)$ টি বস্তুকে বসাতে হবে, যা আমাদের সংজ্ঞা অনুসারে $(n-1)!$ টি উপায়ে বসানো যায়। তাহলে মোট উপায় $n.(n-1)!$, কাজেই $n!=n(n-1)!$

এখন আমরা এভাবে আগাতে থাকলে কী হবে?

$ n=n(n-1)!= n(n-1)(n-2)!=…. $ এভাবে চলতে চলতে আমরা একটা পর্যায়ে থেমে যেতে পারি। সেটা কখন? যখন $1!$ আসবে তখন আমরা জানি যে $1!=1$ কেননা একটি বস্তুকে কেবল একভাবেই সাজানো যায়।

কাজেই আমরা দেখতে পাচ্ছি, $ n!=n(n-1)(n-2)….3.2.1 $ অর্থাৎ $n!$ আসলে $1$ থেকে $n$ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর গুণফল বৈ কিছুই নয়! এই রেজাল্টটি যথেষ্ট ইন্টারেস্টিং। তো আমরা চেষ্টা করবো ব্যাপারটিকে আরো ইন্টারেস্টিং করার।

$0!$ কী হতে পারে? আমরা একে চাইলে $n!=n(n-1)!$ অনুসারে সংজ্ঞা দিতে পারি। $n=1$ হলে আমরা বলতে পারি, $1!=1.0!$ বা $0!=1$ হয়। কাজেই আমরা $0!=1$ ডিফাইন করতে পারি। এখন খেয়াল করি যে $n$ বাড়ার সাথে সাথে $n!$ এর মান বেশ দ্রুত বাড়তে থাকে। এই অবস্থায় কি আমরা এমন কোন ফর্মুলা বের করতে পারি যা মোটামোটি নিখুঁতভাবে $n!$ এর মান দিতে পারবে?

তো আমরা প্রথমে চেষ্টা করি $n$ এর বিভিন্ন মান গ্রাফে বসিয়ে কিছু ভাবা যায় কিনা।

একটু খেয়াল করি, আগের মতোই, $n!=n(n-1)!$ এ $n=0$ বসালে কিন্তু $(-1)!$ অসংজ্ঞায়িত হয়ে যায়। তাহলে এই বিষয়টি মাথায় রেখে আমরা পয়েন্টগুলো যোগ করলে আমরা নিচের মতো গ্রাফ পাই:

আচ্ছা এখান থেকে কি এমন কোন ফাংশন চিন্তা করা যায়, যা কিনা $100\%$ এর সাথে মিলে যাবে? হ্যাঁ, আমাদের ভাগ্য ভালো আমরা এমন একটা ফাংশন পেয়ে গেছি গণিতে। সেটা হলো,
$$n!=\displaystyle \int_{0}^{\infty} \mathrm dx \, x^{n} e^{-x}$$

কীভাবে? আমরা প্রথমে দেখাবো যে $n=0$ এর জন্য সমাকলনটি আমাদেরকে $1$ দেয়। $n=0$ এর বেলায়:
$$\displaystyle \int_{0}^{\infty} \mathrm dx \, e^{-x} = \left[ -e^{-x} \right]_0^{\infty} = 0 – (-1) = 1$$

$n=0$ এর জন্য সমাকলনটি $1$ দেয়।
এবার আমরা ফ্যাক্টোরিয়ালের রিকার্সিভ ইক্যুয়েশনটি আনার চেষ্টা করবো।
\begin{align} I_{n} &=\displaystyle \int_{0}^{\infty} \mathrm d x \, x^{n} e^{-x} \\&=-\int_{0}^{\infty} x^{n} d\left(e^{-x}\right) \\&=-\left[x^{n} e^{-x}\right]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty} e^{-x} d\left(x^{n}\right) \\&=0+ n \int_{0}^{\infty} \mathrm d x \, x^{n-1} e^{-x}\\&=n I_{n-1} \end{align}

কাজেই $I_{0}=1$ এবং $I_{n}=nI_{n-1}$

এখন আমরা অল্পকিছু হিসেব নিকেষ করবো। $$g(x)= x^{n}e^{-x}=e^{-x+n.\ln(x)}= e^{-f(x)}$$ যেখানে $f(x)= x-n.\ln(x)$

এখন খুব সহজেই আমরা দেখাতে পারি, $g(x)$ অনেকটাই bell shaped ($x>0$ এর জন্য)। নিচের গ্রাফ থেকে বিষয়টি বুঝা যায়:

কেউ এখান থেকে গ্রাফটি দেখে আসতে পারেন

আমরা $g(x)$ বা $f(x)$ এর maxima পাই $x=n$ এর জন্য। কাজেই আমরা যদি $x=n$ এর আশে পাশে $f(x)$ কে টেইলর সিরিজে ভাঙি তাহলে এরকম একটা রেজাল্ট পাই, $$f(x)=f(n)+ f'(n)(x-n)+\frac{f^”(n)}{2!}(x-n)^2+O((x-n)^3)$$ কাজেই $$f(x)= n-n.\ln(n)+\frac{(x-n)^2}{2n}+O((x-n)^3)$$

সুতরাং আমরা উচ্চতর ঘাতের টার্মগুলোকে বাদ দিয়ে $g(x)$ কে এভাবে এপ্রক্সিমেট করতে পারি: $$g_{app}(x)=e^{-f(x)}=n^n.e^{-n}.e^{-\frac{(x-n)^2}{2n}}$$

এখন $n!=\int g(x)dx$, আমরা খেয়াল করলে দেখতে পাই দুটো ফাংশনের [মূল $g(x)$ ও এপ্রক্সিমেটেড $g(x)$] এর কার্ভের নিচের এরিয়া প্রায় একই:

কাজেই আমরা $n!$ কে এপ্রক্সিমেটলি লেখতে পারি,
\begin{align} n! &= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm d x \, g_{a p p}(x) \\ &=\left(\frac{n}{e}\right)^{n} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm d x\,
e^{-\frac{(x-n)^{2}}{2 n}} \\ &=\sqrt{2 n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm d y \, e^{-y^{2}} \tag*{$[\because y=\frac{x-n}{n\sqrt{2}}]$} \end{align}

এখন আমরা জানি যে শেষের ইন্টিগ্রেশনটির মান $\sqrt{\pi}$ (কীভাবে?) কাজেই, $$n!=\left(\frac{n}{e}\right)^n\sqrt{2n\pi}$$

এই ফর্মুলাই স্টার্লিং এর এপ্রক্সিমেশন নামে পরিচিত। তবে আমরা আরো ভালো একটা এপ্রক্সিমেশন পাই যদি আমরা এরিয়া ক্যালকুলেশনের সময় আরেকটু কারেকশন করি, সেক্ষেত্রে ফর্মুলাটা দাঁড়ায়: $$n!=\left(\frac{n}{e}\right)^n\sqrt{\left(2n+\frac{1}{3}\right)\pi}$$ আমরা $0^0=1$ ধরলে এক্ষেত্রে তা $n=0$ এর জন্যও ভালো কাজ করে। $n$ যত বাড়ে, স্টার্লিং এর ফর্মুলাও তত নিখুঁত ফলাফল দিতে থাকে। স্ট্যাটিস্টিক্যাল মেকানিক্স, প্রোবাবিলিটি থিওরি, র‍্যান্ডম সিগন্যাল প্রসেসিংসহ বিভিন্ন শাখায় এই স্টার্লিং এপ্রক্সিমেশনের বিপুল ব্যবহার রয়েছে।

তাহলে আজ এই পর্যন্তই!

লেখাটি 152-বার পড়া হয়েছে।


আলোচনা

Responses

  1. Pranta Das Avatar
    Pranta Das

    অনেক ভালো লাগে শুভ ভাই আপনার লেখা । বিসিবি থেকে আপনার লেখার সাথে পরিচয় । আপনার লেখাগুলো অনেক ভালো লাগে এবং খুব সহজেই কঠিন বিষয় বুঝতে পারি ।
    ভালোবাসা নিবেন <3
    আপনি আমাদের এলাকার মানুষ।

    1. সৈয়দ ইমাদ উদ্দিন শুভ Avatar
      সৈয়দ ইমাদ উদ্দিন শুভ

      অনেক ধন্যবাদ 😀

  2. আমি ক্যালকুলাস ভালো বুঝি না, ইন্টারমেডিয়েটের পর সব ভুলে গেছি। তবে লেখার বর্ণনা ভালো লাগলো। গণিতে এত সুন্দর করে ল্যাটেক ব্যবহার করেছো, দেখতে ভালো লাগছে।

    1. সৈয়দ ইমাদ উদ্দিন শুভ Avatar
      সৈয়দ ইমাদ উদ্দিন শুভ

      কেউ আমার হয়ে মনে হয় কিছু ল্যাটেক ঠিক করে দিয়েছেন 😀

      1. ফুয়াদ হতে পারে।

Leave a Reply

ই-মেইলে গ্রাহক হয়ে যান

আপনার ই-মেইলে চলে যাবে নতুন প্রকাশিত লেখার খবর। দৈনিকের বদলে সাপ্তাহিক বা মাসিক ডাইজেস্ট হিসেবেও পরিবর্তন করতে পারেন সাবস্ক্রাইবের পর ।

Join 908 other subscribers