ফাংশনঃ গণিতের প্রাণ

ফাংশনকে গণিতের প্রাণ বললে মোটেও বাগাড়ম্বর হয় না। কেউ যদি ফাংশন ভালোমতো বুঝতে পারে, তার জন্য রিয়েল এনালাইসিস, এবস্ট্রাক্ট আলজেব্রা, টপোলজির মতো বিষয়গুলো বুঝতে বেগ পেতে হয় না।

এই লেখায় আমি খুব সরল ভাষায় ফাংশনের ওপর আলোচনা করার চেষ্টা করবো একেবারে গোড়া থেকে। যে কেউ এই লেখা মনযোগ সহকারে পড়লে আশা করি ফাংশনের মূলভাব বুঝতে পারবে। পূর্ব প্রস্তুতি হিসেবে সেট এবং সংখ্যা পদ্ধতির ধারণা থাকলে ভালো হয়, না থাকলেও খুব একটা সমস্যা হবে না।

ক্রমজোড় (Ordered Pair)

$(a, b)$ কে ক্রমজোড় বলা হয়, যেখানে $a, b \in \mathbf{R}$। প্রতীক $\mathbf{R}$ বাস্তব সংখ্যার সেট নির্দেশ করে। অর্থাৎ $a$ এবং $b$ বাস্তব সংখ্যা। কয়েকটি ক্রমজোড়ের উদাহরণ হচ্ছে $(2, 7), (-1, 3), (\frac{5}{8}, -4), (-\sqrt{2}, -6)$ ইত্যাদি। $(a, b)$ কে ক্রমজোড় বলার কারণ হচ্ছে, $(a, b) \neq (b, a),$ অর্থাৎ এখানে $a$ এবং $b$ এর ক্রম গুরুত্বপূর্ণ। ক্রম পরিবর্তিত হলে ক্রমজোড়ও পরিবর্তিত হবে। কার্তেসীয় সমতল তথা গ্রাফ কাগজে $(a, b)$ একটি বিন্দু নির্দেশ করে, যেখানে $a$ কে বলা হয় ভুজ এবং $b$ কে বলা হয় কোটি। উদাহরণস্বরূপ, $(5, 9)$ গ্রাফে যে বিন্দু নির্দেশ করে, $(9, 5)$ একই বিন্দু নির্দেশ করে না; যদি করত তাহলে উভয়ে সমান হতে পারতো। সুতরাং, $(5, 9)$ এবং $(9, 5)$ ক্রমজোড় দুইটি সমান হতে পারে না।

তবে $(a, b) = (b, a)$ হবে যদি এবং কেবল যদি $a = b$ হয়। এই ধরনের ক্রমজোড়ের উদাহরণ হচ্ছে $(1, 1), (-3, -3), (\frac{2}{9}, \frac{2}{9}), (-\sqrt{5}, -\sqrt{5}), (6.4, 6.4)$ ইত্যাদি।

কার্তেসীয় গুণজ (Cartesian Product)

কার্তেসীয় গুণজকে সংক্ষেপে ক্রমজোড়ের সেট বলা যেতে পারে। যদি $A$ এবং $B$ দুইটি সেট হয়, তবে এদের উপাদানসমূহের মধ্যে $A$ এর উপাদানকে প্রথমে এবং $B$ এর উপাদানকে দ্বিতীয়তে রেখে গঠিত সম্ভাব্য সবগুলো ক্রমজোড়ের সেটকে $A$ এবং $B$ সেটদ্বয়ের কার্তেসীয় গুণজ বলা হয় এবং একে $A \times B$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। আবার $B \times A$ দ্বারা $B$ এর উপাদানকে প্রথমে এবং $A$ এর উপাদানকে দ্বিতীয়তে রেখে গঠিত সম্ভাব্য সকল ক্রমজোড়ের সেটকে নির্দেশ করে। ধরি $A = \{1, 2, 3\}$ এবং $B = \{x, y\}$

সুতরাং, $A \times B = \{(1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (3, x), (3, y)\}$

আবার, $B \times A = \{(x, 1), (x, 2), (x, 3), (y, 1), (y, 2), (y, 3)\}$

উপরের চিত্রে তীর চিহ্ন দ্বারা ক্রম নির্দেশিত হয়। যদি $A$ সেটে ৩টি এবং $B$ সেটে ২টি উপাদান থাকে, তবে $A \times B$ এবং $B \times A$ উভয় কার্তেসীয় গুণজেই (৩ $\times$ ২) বা ৬টি উপাদান (ক্রমজোড়) থাকবে। সাধারণভাবে $A \times B$ কে নিম্নলিখিত উপায়ে প্রকাশ করা যেতে পারে।

\begin{equation} A \times B = \{(x, y): x\in A, y\in B\} \end{equation}

অন্বয় (Relation)

কার্তেসীয় গুণজের ওপর শর্ত আরোপ করে অন্বয় গঠন করা হয়। কার্তেসীয় গুণজে সম্ভাব্য সবগুলো তীর চিহ্নের মাধ্যমে একেকটি ক্রমজোড় তথা সম্পর্ক গঠিত হয়। এখন অন্বয়ে যদি কোনো শর্ত আরোপ করা হয়, তবে যে তীর চিহ্নগুলো সে শর্ত মানবে সেগুলো অন্বয়ে থাকবে, বাকি যেগুলো শর্ত মানবে না, সেগুলো বাদ যাবে। অন্বয়কে $R$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। একটি উদাহরণের মাধ্যমে বিষয়টি পরিষ্কার করা যাক। ধরি $A = \{1, 2, 3\}$ এবং $B = \{-1, 2, 7\}$ দুইটি সেট। $A$ থেকে $B$ তে একটি অন্বয় $R$ কে নিম্নোক্ত উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা হলো।

\begin{equation} R = \{(x, y): x\in A, y\in B, x\geq y\} \end{equation}

লক্ষ্য করুন, কার্তেসীয় গুণজ $A \times B$ এর সাথে অন্বয় $R$ এর পার্থক্য কেবল একটি অতিরিক্ত শর্ত $x\geq y$ আরোপের মধ্যেই।

$A \times B = \{(1, -1), (1, 2), (1, 7), (2, -1), (2, 2), (2, 7), (3, -1), (3, 2), (3, 7)\}$

$A \times B$ এর সম্ভাব্য ৯টি ক্রমজোড়ের মধ্যে $(1, -1),$ $(2, -1),$ $(2, 2),$ $(3, -1)$ এবং $(3, 2)$ এই ৫টি ক্রমজোড় অন্বয়ে প্রদত্ত $x\geq y$ শর্তটি মানে, বাকি ৪টি ক্রমজোড় শর্তটি মানে না।

সুতরাং, $R = \{(1, -1), (2, -1), (2, 2), (3, -1), (3, 2)\}$

শর্ত আরোপ করায় দেখা গেছে অন্বয় কার্তেসীয় গুণজের তুলনায় কিছুটা ছোট হয়ে পড়েছে। নির্দিষ্ট করে বললে, অন্বয় হচ্ছে কার্তেসীয় গুণজের একটি উপসেট (subset), অর্থাৎ $R \subseteq A \times B$। যদি কখনও এমন হয় যে কোনো ক্রমজোড়ই অন্বয়ে প্রদত্ত শর্ত মানল না, সেক্ষেত্রে $R = \emptyset$। আবার যদি প্রতিটি ক্রমজোড়ই অন্বয়ে প্রদত্ত শর্ত মানে তাহলে $R = A \times B$। আর শর্ত অনেক রকম হতে পারে, যেমনঃ $x>y,$ $y=x^2+1,$ $x-\sqrt y=1$ ইত্যাদি।

ফাংশন (Function)

ফাংশন হচ্ছে একটি যন্ত্রের (machine) ন্যায়। যে কোনো যন্ত্রের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হচ্ছে এর কাজ করার একটি সুনির্দিষ্ট পদ্ধতি (machanism) থাকবে এবং কাজটি সম্পন্ন করার জন্য কাঁচামাল দরকার পড়বে। একটি যন্ত্র সেই সুনির্দিষ্ট পদ্ধতির ভিত্তিতে কাঁচামালকে উৎপাদে পরিণত করবে। তবে যে যন্ত্রের জন্য যে কাঁচামাল প্রযোজ্য, তা ব্যতীত অন্য কোনো কাঁচামালের জন্য যন্ত্রটি কাজ করবে না। যে যন্ত্রের কাঁচামাল তড়িৎশক্তি, সে যন্ত্র নিশ্চয়ই তাপশক্তিতে চলবে না।

উদাহরণে চলে আসি। ধরি যন্ত্র হচ্ছে $f(x),$ যার সুনির্দিষ্ট কার্যপদ্ধতি হচ্ছে $\sqrt (x-1),$ যেখানে $x\in \mathbf{R}$। অর্থাৎ

\begin{equation} f(x) = \sqrt(x-1) \end{equation}

উপরের যন্ত্রের সুনির্দিষ্ট কার্যপদ্ধতিটির ব্যাখ্যা হচ্ছে যে কোনো কাঁচামাল (সংখ্যা) $x$ কে যন্ত্রটি গ্রহণ করবে, এরপর এর থেকে $1$ বিয়োগ করে প্রাপ্ত বিয়োগফলকে বর্গমূল করে যে মান হবে তাকে উৎপাদ হিসেবে প্রকাশ করবে।

বলে রাখা ভালো, ফাংশনের জন্য কাঁচামালের সেটকে ডোমেন সেট এবং সম্ভাব্য উৎপাদের সেটকে কোডোমেন সেট বলে। উপরের চিত্রে দেখা যায়, $\frac{1}{2}$ এবং $-1$ এর জন্য $f(x) = \sqrt(x-1)$ ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত নয়। শুধু তাই নয়, $1$ অপেক্ষা ছোট কোনো বাস্তব সংখ্যার জন্যই ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত নয়। সুতরাং ফাংশনটির ডোমেন হবে $x\geq 1$, অর্থাৎ $1$ এবং $1$ অপেক্ষা বড় যে কোনো বাস্তব সংখ্যা। মনে রাখতে হবে, সাধারণভাবে যে কোনো ফাংশনের ডোমেন সেটকে $\mathbf{R}$ ধরা হয়। যদি কখনও কোনো সংখ্যার জন্য একটি ফাংশন অসংজ্ঞায়িত হয়, তবে সে সংখ্যা বা সংখ্যাসমূহকে $\mathbf{R}$ থেকে বাদ দিতে হবে।

এবার আসি শর্তের কথায়। অন্বয়ের ওপর ২টি শর্ত আরোপ করে ফাংশন গঠন করা হয়।

• ডোমেন সেটের একটি উপাদান থেকে একের অধিক তীর চিহ্ন বের হতে পারবে না।
• ডোমেন সেটের কোনো উপাদান অন্বয়বিহীন থাকতে পারবে না।

নিচের চিত্রের মাধ্যমে শর্তদ্বয় অনুধাবনের চেষ্টা করি।

এবার দেখি ডোমেন সেটের একটি উপাদান থেকে একাধিক তীর চিহ্ন বের হলে গ্রাফে এর পরিণতি কী হয়। নিচের উদাহরণটি বিবেচনা করি। মনে করি, ডোমেন সেটের একটি উপাদান $3$ থেকে দুইটি তীর চিহ্ন বের হয়ে একটি কোডোমেন সেটের $5$ এর সাথে এবং অপরটি $-9$ এর সাথে অন্বিত হয়েছে।

যখন কার্তেসীয় সমতল তথা গ্রাফ কাগজে $f$ ফাংশনটির লেখচিত্র আঁকা হবে, তখন দুইটি ক্রমজোড় $(3, 5)$ এবং $(3, -9)$ দ্বারা নির্দেশিত বিন্দুদ্বয় স্থাপন করতে হবে। সেক্ষেত্রে বিন্দুদ্বয় একটি উলম্ব রেখায় অবস্থান করবে। দুয়ের বেশি তিন, চার বা যে কোনো সংখ্যক বিন্দুর বেলায়ও একই কথা প্রযোজ্য।

সুতরাং আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হতে পারি, গ্রাফ কাগজে যে কোনো কাল্পনিক উলম্ব রেখা যদি লেখচিত্রকে একাধিক বিন্দুতে ছেদ করে, তবে লেখচিত্রের সমীকরণটি ফাংশন প্রকাশ করে না। একে ফাংশনের উলম্ব রেখা পরীক্ষা বলা হয়।

এক-এক ফাংশন (One-One Function)

ফাংশনের শর্ত মোতাবেক কোডোমেন সেটের একটি উপাদানে একাধিক তীর চিহ্ন গমন করতে পারে। এক-এক ফাংশনে সে সম্ভাবনা রহিত করা হয়েছে। অর্থাৎ এ ধরনের ফাংশনে কোডোমেন সেটের একটি উপাদানে একটির বেশি তীর চিহ্ন গমন করতে পারবে না। তবে মনে রাখতে হবে, এক-এক ফাংশন যেহেতু এক প্রকার ফাংশন, তাই ফাংশনের শর্তদ্বয় আগেই মানতে হবে।

এক-এক ফাংশনে কোডোমেন সেটের কোনো উপাদানে একাধিক তীর চিহ্ন গমন না করার এই শর্ত গ্রাফ কাগজে কীভাবে আচরণ করে তা নিচের উদাহরণের মাধ্যমে লক্ষ্য করি। ধরি, ডোমেন সেটের দুইটি উপাদান $-2$ এবং $2$ থেকে আলাদা দুইটি তীর চিহ্ন বের হয়ে কোডোমেন সেটের $4$ এর সাথে সম্পর্কিত হয়েছে।

কার্তেসীয় সমতল তথা গ্রাফ কাগজে $f$ ফাংশনটির গ্রাফ আঁকার সময় $(-2, 4)$ এবং $(2, 4)$ ক্রমজোড়দ্বয় দ্বারা নির্দেশিত বিন্দু দুটি স্থাপন করতে হবে। সেক্ষেত্রে বিন্দু দুটি একটি আনুভূমিক রেখা বরাবর অবস্থান করবে। দুয়ের বেশি তিন, চার বা যে কোনো সংখ্যক বিন্দুর বেলায়ও একই কথা প্রযোজ্য।

সুতরাং গ্রাফ কাগজে যে কোনো কাল্পনিক আনুভূমিক রেখা যদি লেখচিত্রকে একাধিক বিন্দুতে ছেদ করে, তবে লেখচিত্রের সমীকরণটি এক-এক ফাংশন প্রকাশ করে না। একে এক-এক ফাংশনের আনুভূমিক রেখা পরীক্ষা বলে।

আনুভূমিক রেখা পরীক্ষার পূর্বে লক্ষ্য রাখতে হবে সেটি উলম্ব রেখা পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হয় কি না। কারণ এক-এক ফাংশন কিন্তু এক প্রকার ফাংশন। যদি উলম্ব রেখা পরীক্ষায় উত্তীর্ণ না হয়, তবে আনুভূমিক রেখা পরীক্ষা করার কোনো প্রয়োজন নেই।

টিপসঃ কোনো ফাংশন এক-এক কি না তা গাণিতিকভাবে নির্ণয় করার জন্য $f$ ফাংশনের ডোমেন থেকে $x_1$ এবং $x_2 $ দুটি সংখ্যা নিতে হবে, অর্থাৎ $x_1, x_2 \in \mbox{Dom}_f$। এরপর মনে করতে হবে $f(x_1) = f(x_2)$। এর থেকে যদি $x_1 = x_2$ প্রমাণ করা যায়, তবে $f$ ফাংশনটি এক-এক। গাণিতিকভাবে, যদি $f(x_1) = f(x_2) \iff x_1 = x_2$ হয়, তাহলে $f$ ফাংশনকে এক-এক ফাংশন বলা হবে।

সার্বিক ফাংশন (Onto Function)

সার্বিক ফাংশন বুঝার আগে কোডোমেন এবং রেঞ্জ বুঝতে হবে। আমরা জানি, ফাংশনের সম্ভাব্য উৎপাদের সেটকে কোডোমেন সেট বলে, আর প্রকৃত উৎপাদের সেটকে বলে রেঞ্জ সেট।

উপরের চিত্র থেকে দেখা যায়, রেঞ্জ সেট কোডোমেন সেটের উপসেট, অর্থাৎ রেঞ্জ $\subseteq$ কোডোমেন।

ফাংশনের দুইটি শর্ত থেকে এ বিষয়টি স্পষ্ট যে, ডোমেন সেটের কোনো উপাদান অন্বয়বিহীন থাকতে না পারলেও কোডোমেন সেটে অন্বয়বিহীন উপাদান থাকতে পারবে। সার্বিক ফাংশনে এ সম্ভাবনা রহিত করা হয়েছে, অর্থাৎ কোনো ফাংশনকে সার্বিক হতে হলে কোডোমেন সেটে অন্বয়বিহীন উপাদান থাকতে পারবে না। সেক্ষেত্রে রেঞ্জ = কোডোমেন হবে।

বিপরীত ফাংশন (Inverse Function)

প্রথমে বলে নিই, $2$ এর বিপরীত সংখ্যা যেমন $\frac{1}{2}$, তেমনি $\frac{1}{2}$ এর বিপরীত আবার $2$। অর্থাৎ এরা একে অপরের বিপরীত। কিন্তু $0$ এর কোনো বিপরীত সংখ্যা নেই।

অনুরূপভাবে, যে কোনো ফাংশন $f$ এর বিপরীত ফাংশন থাকতেও পারে, না ও থাকতে পারে। যদি $f$ ফাংশনের বিপরীত ফাংশন বিদ্যমান থাকে, তবে একে $f^{-1}$ দ্বারা প্রকাশ করা হবে। অর্থাৎ $f$ এবং $f^{-1}$ পরস্পর বিপরীত ফাংশন। প্রশ্ন হচ্ছে, কখন $f$ এর বিপরীত ফাংশন $f^{-1}$ বিদ্যমান থাকবে?

যদি কোনো ফাংশন $f$ একই সাথে এক-এক এবং সার্বিক ফাংশন হয়, তবেই কেবল ঐ ফাংশনের বিপরীত ফাংশন $f^{-1}$ বিদ্যমান থাকবে। অর্থাৎ,

$f$ এক-এক + সার্বিক $\iff$ $f^{-1}$ বিদ্যমান

এখন $f^{-1}$ বিদ্যমান হতে হলে কী কারণে $f$ ফাংশনকে একই সাথে এক-এক এবং সার্বিক ফাংশন হতে হবে, তা নিচের চিত্রে ব্যাখ্যা করা হলো।

এবার দেখা যাক গ্রাফ কাগজে যে কোনো ফাংশন $f$ এবং বিপরীত ফাংশন $f^{-1}$ এর লেখচিত্রদ্বয়ের মধ্যে কিরূপ সম্পর্ক রয়েছে।

লেখচিত্রে $f$ এবং $f^{-1}$ ফাংশন দুটির লেখচিত্র একে অপরের সাথে $y=x$ সরলরেখার সাপেক্ষে দর্পণ প্রতিবিম্ব।

বেশ কিছু ফাংশনের লেখচিত্র জুড়ে দেয়ায় লেখাটি একটু বড় হয়ে গেলেও ফাংশন বুঝার জন্য লেখচিত্রের আচরণ বুঝা জরুরী। কথ্য ভাষায় লেখার চেষ্টা করেছি। এই লেখার সাথে পাঠ্যবই মিলিয়ে পড়লে ফাংশন বুঝা তেমন কঠিন হবে বলে মনে হয় না।

তথ্য সহায়িকা

• desmos graphing calculator