Angular Momentum: An unsung hero

বি.দ্র. ভেক্টরের বেসিক জানা থাকা থাকলে লেখাটা পড়তে সুবিধা হবে। আর পুরো লেখাটা যথাসম্ভব সিম্পল একটা সিস্টেমকে বেসিস করে লেখা হয়েছে, যাতে বিষয়গুলো বেশি জটিল না হয়ে যায়।

ভরবেগ কি, এটার সবচেয়ে জঘন্য সংজ্ঞা মেবি এইটা যে – ভর ও বেগের গুণফলকে ভরবেগ বলে। এইটা আমার দেখা ফিজিক্সের সবচেয়ে জঘন্য সংজ্ঞাগুলোর একটা, কারণ এই সংজ্ঞা কোন ইন্টুইশনই দেয় না। ব্যাপারটা অনেকটা এরকম, বল মানে হলো ভর আর ত্বরণের গুণফল -.-।

প্রথমে আমরা রৈখিক ভরবেগ নিয়ে একটু আলোচনা করি।

তো চলেন আগে দেখি যে ভরবেগ কেন দরকার পড়ল।

প্রথমেই ধরে নেই, আমরা ভরবেগ কি জানি না।

এখন ধরেন, $m_1$আর $m_2$ভরের দুইটা বস্তু যথাক্রমে $\vec{u_1}$আর $\vec{u_2}$বেগে পরস্পরের সাথে সংঘর্ষ করল। ধরলাম বস্তু দুইটার ভর $6 kg$ আর $10kg$। দুইটার আদিবেগ যথাক্রমে $2ms^{-1}$আর $3ms^{-1}$। হিসাবের সুবিধার্থে ধরলাম এনার্জির লস নগণ্য।

তাহলে, বস্তু দুইটার গতিশক্তির যোগফল বা মোট গতিশক্তি ধ্রুবক থাকবে।

অর্থাৎ,

এখন, মোট গতিশক্তি যেহেতু ধ্রুবক, তাহলে সংঘর্ষের আগের মোট গতিশক্তি = সংঘর্ষের পরের মোট গতিশক্তি। 

ধরি, সংঘর্ষের পরে বস্তু দুইটার বেগ যথাক্রমে $\vec{v_1}$ও $\vec{v_2}$।

তাহলে,

এখন, এই $(1)$ নাম্বার ইকুয়েশন দেখে আপনি আমাকে বলতে পারবেন, কোন বস্তুর শেষবেগ কত?

নিশ্চয়ই না। 

কারণ, সমীকরণ ১ টা, চলক দুইটা। এর মানে হলো, আপনি দুইটা বস্তুরই বেগের অসংখ্য মান পেতে পারেন।

কিন্তু বিজ্ঞানীরা যখন এক্সপেরিমেন্ট করলেন, দেখলেন যে সব কন্ডিশন এক থাকলে, যতবারই সংঘর্ষ করানো হোক না কেন, দুইটা বস্তু সবসময় একই শেষবেগ প্রাপ্ত হয় ( এক্ষেত্রে $6 kg$ ভরের বস্তুটার শেষবেগ সবসময় $3.25 ms^{-1}$ এবং $10 kg$ ভরের বস্তুটার শেষবেগ সবসময় $2.25 ms^{-1}$-ই হয়)।

বিজ্ঞানীদের মনে প্রশ্ন আসলো, আচ্ছা এমনটা কেন হয়? এত অপশন থাকতে এটাই কেন?

তখন তারা ভাবলেন, আচ্ছা, আমরা যদি এই একই চলকগুলো ব্যবহার করে আরেকটা ইকুয়েশন আনতে পারি, তাহলে দুইটা চলকের জন্য দুইটা সমীকরণ পেয়ে যাব, আর সমীকরণ সমাধান হয়ে যাবে, আর আমরা বুঝতে পারব শেষবেগটা কেন ওই একই জিনিস আসে বারবার।

ওনারা ভাবলেন, আচ্ছা, আরেকটা কিছুকে সংরক্ষণ করায়ে দিই, তাহলে আরেকটা সমীকরণ পাব। ( সংরক্ষণ করানো লাগসে এই কারণে যে, সমীকরণ মানে ওইটাতে = চিহ্ন থাকবে। আর = চিহ্ন থাকা মানে কোন কিছুর আগেরটা সমান পরেরটা।)

তো, ওনারা করলেন কি, ভর আর বেগের গুণফল $m\vec{v}$, এই জিনিসটাকে সংরক্ষণ করায়ে দিলেন।

এর ফলে, $m_1\vec{u_1} + m_2\vec{u_2} = m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2}$ এই সমীকরণটা পাওয়া গেল।

পরে বিজ্ঞানীরা এই $m\vec{v}$ জিনিসটারই নাম দিলেন ভরবেগ বা momentum. 

গল্পটা কাল্পনিক, কিন্তু গল্পটা থেকে একটা জিনিস আমরা খুব সহজেই বুঝতে পারি, ভরবেগ না থাকলে অনেক কিছুই আমরা প্রেডিক্ট করতে পারতাম না।

এখন দেখা যাক ভরবেগ আসলে কি জিনিস।

আমরা জানি, রৈখিক ভরবেগ, $\vec{p}=m\vec{v}$

গুগলে যদি সার্চ দেন, ভরবেগ কি বা what is momentum, যে উত্তরটা পাবেন, সেটা হলো “ Momentum is a measure of a body’s motion “. 

এই measure of a body’s motion বলতে কি বুঝায়, সেটাকে যদি আমরা সহজে বুঝতে চাই, তাহলে, ভরবেগ হলো কোন একটা বস্তু এর ভর আর বেগের কারণে কতটুকু প্রভাব বিস্তার করতে পারবে, সেটা।

এখানে প্রভাব বিস্তার বলতে কি বুঝাচ্ছি?

ধরেন, একটা $5kg$ ভরের বস্তু $2ms^{-1}$ বেগে যাচ্ছে, আর একটা $2 kg$ ভরের বস্তু $10 ms^{-1}$ বেগে যাচ্ছে। তাহলে, $5 kg$ ভরের বস্তুর ভরবেগ $10 kgms^{-1}$ এবং $2 kg$ ভরের বস্তুটার ভরবেগ $20 kgms^{-1}$.

এই দুইটা বস্তুই যদি অন্য কোন একটা স্থির বস্তুকে একইভাবে ধাক্কা দেয়, আমরা দেখব 2kg ভরের বস্তুর ধাক্কায় স্থির বস্তুটা বেশি বেগ প্রাপ্ত হচ্ছে, কারণ এর ভরবেগ তথা প্রভাব বেশি।

এখন দেখেন, যে ব্যাক্তির প্রভাব বেশি, তাকে থামাতে আপনার কষ্ট বেশি হবে। তাহলে ভরবেগকে আমরা একটু অন্যভাবেই ফিল করতে পারি।

ভরবেগ হলো কোন বস্তুকে থামাতে কি পরিমাণ কষ্ট করা লাগবে, সেটা।

এখানে কষ্ট বলতে প্রতি একক সময়ে কি পরিমাণ বল দেয়া হচ্ছে, সেটা বুঝানো হচ্ছে। কোন কিছুকে থামাতে একক সময়ে বেশি বল দেয়া লাগলে কষ্ট বেশি, আর একক সময়ে বল কম দেয়া লাগলে কষ্ট কম।

যেমন ধরেন, একটা বস্তুর ভরবেগ $50kgms^{-1}$, আরেকটা বস্তুর ভরবেগ $40kgms^{-1}$, দুইটাকেই “একই সময়ে ” থামাতে গেলে দেখবেন, যেটার ভরবেগ বেশি সেটাকে থামাইতে কষ্ট বেশি হচ্ছে, বা বেশি বল প্রয়োগ করা লাগতেসে।

দেখেন, কোন বস্তুর ভর বেশি হইলেও গতি কম হলে ওইটারে থামাতে কষ্ট কম হয়। আবার কোন বস্তুর ভর কম হলেও, গতি বেশি হলে থামাতে কষ্ট বেশি হয়। এজন্য, ভরবেগের সূত্রে ভর ও বেগ দুইটাই থাকে।

তো সহজে বুঝতে গেলে, রৈখিক ভরবেগ হইল রৈখিক গতিসম্পন্ন কোন বস্তুকে থামাইতে কতটুকু কষ্ট করা লাগবে বা একক সময়ে কতটুকু বল দেয়া লাগতেসে, সেটা।

একইভাবে, কৌণিক ভরবেগ হলো কৌণিক গতিসম্পন্ন কোন বস্তুকে থামাইতে কতটুকু কষ্ট করা লাগবে সেটা। 

এখানে বলের জায়গায় থাকে টর্ক। রৈখিক বেগের ক্ষেত্রে বলের যে কাজ (রৈখিক ভরবেগ পরিবর্তন করা), কৌণিক বেগের ক্ষেত্রে টর্কের সেই একই কাজ (কৌণিক ভরবেগ পরিবর্তন করা)।

কৌণিক ভরবেগ,  $\vec{L}=I\vec{ω}$ (এইটাই কেন, সেটা পরে কোন একদিন দেখব, আপাতত মেনে নেন:))।

এখানে, $I$ হলো জড়তার ভ্রামক, আর $\vec{ω}$ হলো কৌণিক বেগ। এখানে $I$ রৈখিক ভরবেগের ভরের মতো কাজ করে(ভরের মতোই $I$ -ও একটা স্কেলার, আর $\vec{ω}$ রৈখিক ভরবেগের বেগের কাজ করে (এইভাবে মিলায়ে পড়লে সমীকরণগুলো বুঝতে সুবিধা হবে)।

তো, আমরা আজকে দেখব, এইযে কৌণিক ভরবেগ, এইটা আমাদের জন্য কত বড় savior.

আমাদের আধুনিক প্রযুক্তিতে যেসব জায়গায়ই ব্যালেন্সের বা একটা নির্দিষ্ট দিকে কোনকিছুর দিক ফিক্সড থাকা দরকার পড়ে, সেসব জায়গাতেই লুকিয়ে আছে কৌণিক ভরবেগ।

আমাদের দৈনন্দিন জীবনে যেসব আধুনিক জিনিসে ব্যালেন্স দরকার হয়, সেখানেই থাকে gyroscope. আর এই gyroscope কাজ করে কৌণিক ভরবেগকে কাজে লাগিয়েই।

প্লেন, জাহাজ, এমনকি স্যাটেলাইটেও আমরা ব্যবহার করি gyroscope. 

এই gyroscope কিভাবে কাজ করে, সেটাই আমরা আজকে দেখব।

প্রথমত, টর্ক নিয়ে একটু জানা যাক।

টর্ক মানে হলো একক সময়ে কৌণিক ভরবেগের পরিবর্তনের হার। জিনিসটা রৈখিক বেগের বলের মতো, রৈখিক বেগের বল ভরবেগ চেঞ্জ করে, আর কৌণিক বেগে টর্ক কৌণিক ভরবেগ চেঞ্জ করে।

তো, টর্ক, $\vec{𝜏} = d\vec{L}/dt$.

এই $\vec{𝜏}$, $\vec{L}$ – এগুলো সবই ভেক্টর, তাই সামনে থেকে আমরা এগুলোকে তীর চিহ্ণ হিসেবে ডিল করব, অর্থাৎ, টর্ক, কৌণিক ভরবেগ – এগুলোকে চিত্রে তীর চিহ্ন দিয়ে দেখাব।

এখন, ধরেন, আমি এমন কৌণিক ভরবেগ এপ্লাই করলাম যে সেইটার মান অনেক বেশি। এর ফলে যেটা হবে, সেটা হলো আমি বিশাল মানের টর্ক এপ্লাই না করলে আমার কৌণিক ভরবেগের মান বা দিক কোনটাই সহজে চেঞ্জ হবে না।

ব্যাপারটা সহজে বুঝার জন্য আমরা একটা টাকার উদাহরণ ধরি। ধরেন, আপনি কাউকে ১ কোটি টাকা ধার দিলেন। সে প্রতিদিন ১ টাকা করে শোধ দিচ্ছে। তো আপনার মোট ধারের মাত্র ১% শোধ করতেই তার ২৭৪ বছর চলে যাবে। কিন্তু, সে যদি প্রতি সেকেন্ডে ১ টাকা করে শোধ দেয়, তাহলে মাত্র ১১৬ দিনেই সে আপনার ধার শোধ করে দিবে।

এখানে, প্রতিদিন যে ১ টাকা করে শোধ দিচ্ছে, এটা হলো ভরবেগের পরিবর্তন। ১ দিনে ১ টাকা করে দিলে, তার শোধের হার অনেক কম, অর্থাৎ ভরবেগের পরিবর্তনের হার অনেক স্লো, অর্থাৎ টর্ক অনেক কম। আবার ১ সেকেন্ডে ১ টাকা করে শোধ দিলে, তার শোধের হার অনেক দ্রুত, অর্থাৎ ভরবেগের পরিবর্তনের হার অনেক বেশি, অর্থাৎ, টর্কও অনেক বেশি।

তো, প্রথম ক্ষেত্রে যখন ১ দিনে ১ টাকা করে শোধ দিচ্ছিল, তখন আপনার ধারের পরিবর্তনের হার অনেক স্লো, ২৭৪ বছরে মাত্র ১% শোধ হবে। অর্থাৎ, টর্ক কম হলে কৌণিক ভরবেগ পরিবর্তন হবে, কিন্তু অনেক ধীরে। ফলে আমাদের দৈনন্দিন জীবনে এর প্রভাব খুবই সামান্য হবে অর্থাৎ, এসব ক্ষেত্রে আমরা কৌণিক ভরবেগকে মোটামুটি কন্সট্যান্ট ধরতে পারি।

এখন কথা হলো, কোন কিছুকে হাত দিয়ে ঘুরালে, ওইটার ঘুরার স্পীড বা কৌণিক ভরবেগ কিভাবে বাড়ে?

আমরা জানি, টর্ক = অবস্থান ভেক্টর × বল ভেক্টর = $\vec{r} \times \vec{F}$

এই ছবিটার দিকে তাকান, আমি, লাল তীরের দিকে বল প্রয়োগ করলে আমার টর্ক প্রয়োগ করা হয় হলুদ তীরের দিকে। আবার আমার কৌণিক ভরবেগ, যেটাকে সবুজ তীর চিহ্ন দিয়ে দেখানো হয়েছে, সেটাও ওই একই দিকে। যেহেতু, আমার টর্ক মানেই হলো প্রতিসেকেন্ডে কৌণিক ভরবেগের পরিবর্তন আর যেহেতু এখানে প্রতিসেকেন্ডে টর্ক প্রয়োগ হচ্ছে, তাই এখানে প্রতিসেকেন্ডে কৌণিক ভরবেগও বাড়বে।

এখানে একটা বিষয় লক্ষণীয়, টর্ক আর কৌণিক ভরবেগের দিক একইদিকে। ফলে এখানে শুধুই কৌণিক ভরবেগের মান চেঞ্জ হবে, দিক না। যেহেতু অন্যদিকে টর্ক বা কৌণিক ভরবেগের পরিবর্তন ভেক্টরের কোন উপাংশ নাই। উপাংশ থাকলে ওইদিকেও চেঞ্জ হইত। [ যদি টর্ক উলটা দিকে হইত, তাহলে খালি কৌণিক ভরবেগ কমতে থাকত, অর্থাৎ ঘুরার স্পীড আস্তে আস্তে কমত, তাও দিক পরিবর্তন হইত না। ব্যাপারটা আসলে ধীরে ধীরে উলটাদিকে পরিবর্তন-ই।]

এখন টর্কের যদি অন্যদিকে উপাংশ থাকত, যেটা আমার বর্তমান কৌণিক ভরবেগের তুলনায় অনেক ছোট, তাহলে কৌণিক ভরবেগের দিকের পরিবর্তন হবে না। কৌণিক ভরবেগের দিক পরিবর্তন না হওয়ার মানে হচ্ছে, বস্তুটা যেদিকে মুখ করে ঘুরতেসিল, সেদিকে মুখ করেই ঘুরতে থাকবে, দিক চেঞ্জ হবে না।

কিন্তু, যদি এমন হইতো, যে টর্ক কৌণিক ভরবেগের সাথে একেবারে লম্বদিকে প্রয়োগ করা হচ্ছে, তাহলে, যেহেতু আগের কৌণিক ভরবেগের ওই লম্বদিকে কোন উপাংশ নাই, সেটা ওইদিকে সরে যাবে, কিন্তু আবার টর্কের যেহেতু আদি কৌণিক ভরবেগের দিকে কোন উপাংশ নাই, তাই আদি ভরবেগের মানের কোন পরিবর্তন হবে না, কেবল দিকের পরিবর্তন হবে। আর যদি কন্টিনিউয়াসলি আমরা আদি ভরবেগের সাথে লম্বদিকে টর্ক প্রয়োগ করতে থাকি, তাহলে আদি ভরবেগের মান পরিবর্তন হবে না, কেবল ওই আদিভরবেগের ভেক্টরটা ঘুরতে থাকবে।

উপরের ভিডিওতে দেখেন, আমরা angular momentum বা কৌণিক ভরবেগ (cyan color এর তীর)-এর সাথে লম্বভাবে টর্ক (হলুদ রঙের তীর) দিচ্ছি, কিন্তু তারপরেও cyan color এর তীরটার দৈর্ঘ্য পরিবর্তন হচ্ছে না, অর্থাৎ ভরবেগের মানের কোন পরিবর্তন হচ্ছে না (খালি দিক পরিবর্তন হচ্ছে)।

এখন চলেন আমরা একটা বেসিক gyroscope দেখতে কেমন হয়, সেটা দেখে আসি।

একটা gyroscope এর বাইরের দিকে এমন টোটাল ৩ টা রিং থাকে, ভিতরে থাকে একটা ফ্লাইহুইল, আর একদম মাঝে থাকা দন্ডটা হলো gyroscope এর ঘূর্ণন অক্ষ- পুরোটা মিলে gyroscope। তো, Gyroscope এর মাঝের ফ্লাইহুইলটা  ঘুরলে, এর কৌণিক ভরবেগটা থাকে এর ঘূর্ণন অক্ষ তথা ওই দন্ডটা বরাবর। আর বাকি রিংগুলোর মধ্যে বাইরেরটা ডিরেক্টলি আপনি যে যন্ত্রে বা সিস্টেমে gyroscope টা ব্যাবহার করতেসেন, সেইটার সাথে যুক্ত থাকে। আর মাঝের দুইটা থাকে, যাতে মাঝের ফ্লাইহুইলটা যেদিকে ইচ্ছা, সেদিকে তাক করে ঘুরতে পারে, অর্থাৎ ফ্লাইহুইলের ফ্রি রোটেশন এর জন্য।

এখন, যখন ফ্লাইহুইলটা ঘুরে, একে অনেক স্পীডে ঘুরানো হয়। ফলে এর কৌণিক ভরবেগ হয় অনেক বেশি। এর ফলে বাইরে থেকে টর্ক প্রয়োগ করলেও ফ্লাইহুইলটা যেদিকে তাক করে ঘুরতেসিল, সেদিকে তাক করেই ঘুরতে থাকে, এর দিক পরিবর্তন হয় না।

উপরের ছবিটা দেখেন, আমার যন্ত্র অর্থাৎ বাইরের রিংটা যেভাবে ইচ্ছা সেভাবে ঘুরতেসে, কিন্তু আমার মাঝের ফ্লাইহুইলটা যেভাবে ঘুরতেসিল, সেভাবেই ঘুরতেসে। অর্থাৎ, আমাদের ফ্লাইহুইলের মাঝের দন্ডটা যেদিকে তাক করে ছিল, সেদিকেই তাক করে আছে।

এর ফলে, যে যন্ত্রে gyroscope ব্যবহার করা হয়, সেই যন্ত্রে gyroscope টা সবসময় একটা নির্দিষ্ট দিকেই মুখ করে থাকে। অর্থাৎ, আমি  যেদিক বরাবর যেতে চাই, সেদিক বরাবর gyroscope টাকে একটা বড় মানের কৌণিক ভরবেগ দিলে, gyroscope টা সবসময় সেদিকেই মুখ করে থাকবে। ফলে আমাদের সিস্টেম যতই ঘুরাঘুরি করুক না কেন, gyroscope কোনদিকে মুখ করে আছে, সেটা দেখলেই বুঝা যাবে আমরা কোনদিকে যাচ্ছিলাম। ফলে আমরা দিক হারাব না। Navigation এর কাজে এটা ব্যাপকভাবে ব্যবহার করা হয়।

এই জিনিসকে কাজে লাগিয়ে প্লেনে, জাহাজ, এগুলোর ব্যালেন্স ও দিক ঠিক রাখা হয়। প্লেনের ক্ষেত্রে কতটুকু বাঁকা হইসে, কোনদিকে যাবে বা জাহাজ কতটুকু কাত হয়ে রইসে, কোথায় যাবে সেটা এই gyroscope দেখেই বুঝা যায়। কারণ মাঝ আকাশে বা সমুদ্রের মাঝে কিছু দেখে দিক ঠিক করার উপায় নাই। এমতাবস্থায়, gyroscope কে একটা নির্দিষ্ট দিকে তাক করে সেটা দেখে দিক ঠিক করা হয়। এমনকি মডার্ন স্যাটেলাইটেও gyroscope ব্যবহার করা হয়।

এখন, ধরেন, আমাদের সিস্টেম বা যে যন্ত্রে gyroscope টা ব্যবহার করা হচ্ছে, সেটা নিজেই ঘুরতেসে। এর ফলে আমাদের gyroscope এর উপর একটা টর্ক কাজ করবে।

উপরের ছবিতে দেখেন, সিস্টেমটা বা যেই যন্ত্রে আমরা gyroscope-টা ব্যবহার করতেসি সেটা ঘুরার ফলে, হলুদ রঙের $\vec{F}$ বল gyroscope-টার উপর বাহ্যিকভাবে প্রযুক্ত হবে যার ফলে লাল তীরের দিকে টর্ক সৃষ্টি হবে,ফলে পুরা gyroscope-টা সবুজ তীরের দিকে গোল গোল করে সবুজ বৃত্তটা বরাবর ঘুরতে থাকবে। এটাকে বলে Precession. এখানে টর্ক $\vec{𝜏}$ আমাদের আদি কৌণিক ভরবেগ $\vec{L}$, যেটা নীল রঙের তীর দিয়ে দেখানো হয়েছে, সেটার সাথে লম্বভাবে আছে। ফলে আমাদের আগের দেখানো হিসাবে কৌণিক ভরবেগের মান পরিবর্তন হবে না, কিন্তু দিকটা টর্কের দিকে ঘুরে যাবে। এখানে যেহেতু, বল $\vec{F}$ নিজে প্রতিনিয়ত দিক পরিবর্তন করতে থাকবে সিস্টেমের ঘুরার ফলে, এর ফলে টর্কের দিকও প্রতিনিয়ত পরিবর্তন হতে থাকবে, ফলে কৌণিক ভরবেগ প্রতিনিয়ত দিক পরিবর্তনকারী টর্কের দিকে যেতে থাকবে, যার ফলে $\vec{L}$ ভেক্টরটা প্রতিনিয়ত ঘুরতে থাকবে (এক্ষেত্রে উপর থেকে নিচের দিকে)। অর্থাৎ, ফ্লাইহুইলের মাঝের দন্ডটাও এখন ঘুরতে থাকবে। এই ঘুরার দিক নির্ভর করে আমি কোনদিকে টর্ক দিচ্ছি, কারণ $\vec{L}$ এর সাথে লম্বভাবে অনেক দিকে টর্ক দেয়া যায়।

এখন ধরি, gyroscope এর মাঝের দন্ডটা তথা কৌণিক ভরবেগ বা ঘূর্ণন অক্ষ নিজে যে কৌণিক বেগে সবুজ তীর বরাবর সবুজ বৃত্তটায় গোল গোল করে ঘুরছে, সেটা হলো $\vec{Ω}$। যেহেতু, আমার সিস্টেম নিজে ঘুরছে, তাই এটি নিজে চাবে এর ভিতরের gyroscope-টাকে ঘুরাতে, অর্থাৎ সিস্টেমটা gyroscope এর উপর বাহ্যিক বল প্রয়োগ করবে, যার ফলে gyroscope-টা ঘুরবে। আবার, সিস্টেমটা যে বেগে ঘুরবে, gyroscope এর ঘূর্ণন অক্ষটাও সেই বেগেই ঘুরবে, অর্থাৎ, $\vec{Ω}$ টা আসলে সিস্টেমেরও ঘুর্ণন বেগ।

নিচের এনিমেশনটা দেখলে ব্যাপারটা অনেকটা পরিষ্কার হবে।

ধরেন, একটা প্লেন ঘুরতেসে, যার ভিতরে gyroscope টা আছে। তাহলে, $\vec{Ω}$ হবে সেই প্লেনটার ঘুরার কৌণিক বেগ।

[ বি.দ্র. এই ঘুরাটা অন্যান্য কারণে একটা অঘূর্ণায়মান সিস্টেমেও হতে পারে, কিন্তু সেটা আমাদের আলোচ্য বিষয় নয়। আমরা মূলত এই ঘূর্ণন ব্যবহার করে কিভাবে কোন ঘূর্ণায়মান সিস্টেমের ঘুরার বেগ বের করা যায়, সেটা দেখব ]

এই $\vec{Ω}$ কে বলা হয় Rate of Precession (এইযে মাঝের দন্ডটা বা অক্ষের উপর ভর করে যে পুরো gyroscope-টা ঘুরছে, এটাই হলো Precession. সেখান থেকেই এই নাম)। এটাও একটা ভেক্টর।

এখন, $\vec{𝜏} = \vec{Ω} × \vec{L}$

এখানে,$\vec{ 𝜏 }$ হলো পুরো gyroscope এর নিজের অক্ষের উপর ঘুরা বা precession এর জন্য যে টর্ক দায়ী, সেটা। এই টর্ক আবার সিস্টেম নিজে কত দ্রুত ঘুরছে, তার উপর নির্ভর করে, আর $\vec{L}$ হলো gyroscope এর নিজের কৌণিক ভরবেগ যেটা কন্সট্যান্ট থাকে। (এখানে পুরো সিস্টেমের ঘুরার জন্য যে টর্ক দায়ী, সেটা আর gyroscope এর উপর প্রয়োগকৃত টর্ক একই হবে যেহেতু gyroscope টা সিস্টেমের সাথে সংযুক্ত এবং দুটোরই ঘূর্ণনবেগ সমান)।

নিচের ভিডিওটা দেখেন।

দেখেন, প্লেনটা ঘুরার কারণে পুরো gyroscope-টাও ঘুরতেসে। আবার, প্লেনটা যে স্পীডে ঘুরতেসে, gyroscope-টাও সেই স্পীডে ঘুরতেসে। ফলে, প্লেনের এই ঘুরার জন্য দায়ী টর্ক আর gyroscope এর উপর প্রযুক্ত টর্ক একই হবে।

তো হবে কি, টর্কের কারণে gyroscope টা ঘুরতে চাবে।

উপরের ছবিতে নিচের কালো গোল বরাবর gyroscope টা ঘুরতে চাচ্ছে পুরো সিস্টেমের ঘুরার ফলে উদ্ভূত টর্কের কারণে। 

কিন্তু আমরা gyroscope এর দুই সাইডে দুইটা torsion স্প্রিং লাগিয়ে দিব।

এর ফলে স্প্রিং দুইটা বাহ্যিক টর্ককে ব্যালেন্স করার জন্য সামনে পিছনে বেঁকে যাবে। তাহলে, স্প্রিং এর মধ্যে উদ্ভুত টর্ক, বাহ্যিক টর্ককে ক্যান্সেল করে দিবে আর gyroscope এর ঘুর্ণন অক্ষটা না ঘুরে আগের দিকেই থাকবে।

তাহলে, বাহ্যিক টর্ক = স্প্রিং এর টর্ক 

এখন, torsion স্প্রিং এর জন্য হুকের সূত্র থেকে পাই,

 স্প্রিং এর টর্কের মান, $|\vec{𝜏}|= 𝜏 =$স্প্রিং ধ্রুবক × স্প্রিংগুলো যত রেডিয়ান কোণে বাঁকসে $= kθ$ [ $k$ হইলো স্প্রিং ধ্রুবক, আর $θ$ হলো স্প্রিংটা যত রেডিয়ান কোণে বাঁকসে সেটা]

তো, $𝜏 = kθ = ΩL = ΩIω$ [ $I$ হলো gyroscope এর জড়তার ভ্রামক, $ω$ হইলো gyroscope এর কৌণিক বেগ এর মান আর $\Omega$ হলো rate of precession এর মান। এখানে একেবারে সিম্পল সিস্টেম বিবেচনা করা হয়েছে। ]

তাহলে, সিস্টেমের ঘুরার বেগ, $\Omega = \frac{k\theta}{I\omega}$।

অর্থাৎ, gyroscope দিয়ে সিস্টেমের ঘুরার বেগও বের করা যায়।

আর ঠিক এভাবেই প্রতিনিয়ত আমাদের চলাচলের আর ঘুরাঘুরির দিক ঠিক রাখার জন্য প্লেন, জাহাজ সহ আরো অসংখ্য ক্ষেত্রে gyroscope ব্যবহার করার মাধ্যমে লক্ষ লক্ষ মানুষের জীবন প্রতিনিয়ত বেঁচে যাচ্ছে, যা আমরা অনেক সময় টেরও পাই না।

All hail Lord Gyroscope;)