এক চলকবিশিষ্ট বহুপদীর উৎপাদকে বিশ্লেষণ

এক চলক বিশিষ্ট বহুপদী হল বীজগাণিতিক রাশি, যার প্রতিটি পদ C.xⁿ আকারের। যেখানে , n∈ℤ+, আর C হল ধ্রুব। আমার আলোচনায় n≤4 থাকবে আর C পূর্ণসংখ্যা। বহুপদীতে সসীম সংখ্যক পদ থাকবে। একটি পদ থাকলেও বহুপদী হয়। উদাহরণস্বরূপ, 2x³-3 একটি বহুপদী, এর দুটি পদ 2x³ এবং -3 বহুপদীর উৎপাদকে বিশ্লেষণ হল বহুপদীকে একাধিক বহুপদীর গুণফল আকারে প্রকাশ। এখন, n=2 হলে বহুপদীর উৎপাদকে বিশ্লেষণ আমরা সবাই জানি। তবুও একটু দেখা যাক, ax²+bx+c এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে। a,b,c এখানে পূর্ণসংখ্যা ও সহমৌলিক। এবার ax²+bx+c=0 এর মূলগুলো যদি মূলদ হয়, তবে উৎপাদকে বিশ্লেষণ সম্ভব। আর এর শর্ত b²-4ac পূর্ণবর্গ হতে হবে। এখন, ধরা বিস্তারিত

কথা ছাড়া প্রমাণ: গণিতের সৌন্দর্য

  গণিত এক অবাক করা সুন্দরী। এর প্রতিটি বাঁকে রয়েছে অপূর্ব এক মায়া। আজ আমরা গণিতের এক ধরনের প্রমাণের কথা বলব, যার জন্য কোন কথার প্রয়োজন হয় না। শুধু ছবি থেকেই প্রমাণিত হয়ে যায়! সমীকরণের যদি প্রয়োজন হয়ও তবুও তা মাত্র কয়েক লাইন। সবচেয়ে বড় কথা হচ্ছে, এ ধরনের প্রমাণ আমাদের শেখায় কীভাবে গণিতকে অনুভব করতে হয়। গণিতের বিমূর্ত সূত্র, উপপাদ্যসমূহ তখন জীবন্ত হয়ে শিরা-উপশিরায় বইতে থাকে। এ ধরনের প্রমাণকে বলা হয় proof without words, বাংলায় কথা ছাড়া প্রমাণ। মাধ্যমিক গন্ডির শুরুতেই আমাদের সাথে পরিচয় হয় (a+b)²=a²+2ab+b² সূত্রটির! কিন্তু কয়জন তার প্রমাণ পারে? যারা পারে তাদের মধ্যে কয়জনই বা এর বিস্তারিত

ত্রিমাত্রিক জ্যামিতির কিছু প্রাথমিক আলোচনা

জ্যামিতি গণিতের অত্যন্ত পুরোনো একটি শাখা। খ্রিস্টপূর্ব ২৫০০০ এর আগেও জ্যামিতির ব্যবহার ছিল। প্রথমদিকে জ্যামিতির ব্যবহার ছিল মূলত ভূমি পরিমাপে। কিন্তু আস্তে আস্তে এর বিকাশ ঘটে। প্রথমেই এক্ষেত্রে চলে আসে ইউক্লিডের নাম, যদিও ইউক্লিড একা এই জ্যামিতির প্রণেতা নন, পিথাগোরাস,আর্কিমিদিস, ব্রহ্মগুপ্ত, টলেমি প্রমুখের নামও জড়িয়ে আছে এতে। তবে ইউক্লিডই সর্বপ্রথম The elements এ এসব লিপিবদ্ধ করেন। আর আইজ্যাক নিউটন থেকে আলবার্ট আইনস্টাইন সকলেই The elements এর প্রশংসা করেছেন। যাহোক, এই ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতি আসলে বক্রতলে খাটানো যায় না। তাছাড়া ইউক্লিডের পঞ্চম স্বতঃসিদ্ধ বেশ বিতর্কিত ছিল। যাহোক, সপ্তদশ শতাব্দিতে ডেকার্তে স্থানাঙ্ক জ্যামিতির সূচনা ঘটান। অতঃপর আরও অনেক প্রকার জ্যামিতিই তৈরি হয়েছে, যার বিস্তারিত

গণিতের সৌন্দর্য: তিন-কয়েদি সমস্যা

সম্ভাব্যতার সমস্যাগুলো মাঝে মাঝে আমাদের হতবিহ্বল করে দেয়। এর আগে গণিতের সৌন্দর্য বইতে আমি জন্মদিনের সমস্যা বা মন্টিহল সমস্যা নিয়ে আলোচনা করেছিলাম সেইসব সমস্যার ফলাফল বা সেই ফলাফলের প্রমানগুলো ছিলো বেশ চমকপ্রদ। আজ তিন-বন্দী সমস্যা নিয়ে আলোচনা করব। এই সমস্যাটিও অনেকটা মন্টিহল সমস্যার মতোই তবে এই ক্ষেত্রে বিষয়টি আরো বেশি চমকপ্রদ মনে হতে পারে। ধরা যাক, একটি কারাগারে তিনজন বন্দী আছে যথাক্রমে রহিম, করিম ও সলিম নামে। এই তিনজন বন্দীর মধ্যে দুইজনকে পরদিন সকালে মৃত্যুদন্ড দেওয়া হবে। কিন্তু বন্দীদের কারো কোনো ধারনা নেই ঠিক কোন দুইজনকে মৃত্যুদন্ড দেওয়া হবে। এখন এদের মধ্যে রহিম অন্যদের চেয়ে একটু বেশি নার্ভাস। সে দুঃশ্চিন্তায় বিস্তারিত

এনক্রিপশনঃ বিশৃংখলার শৃংখলা

একবার ভাবুন তো, আপনি কোনো এক বন্ধুকে উদ্দেশ্য করে চিৎকার করে একটা কথা বলছেন। কথাটা আপনি আর আপনার বন্ধু ছাড়া আর কেউ একবিন্দুও বুঝতে পারছে না। এমন হলে ব্যাপারটা মজার না? ….প্রাচীনকালে যখন ফোনের ব্যবস্থা ছিলো না, তখন অনেক গুরুত্বপূর্ণ তথ্য অন্যের হাতে কাগজে লিখে পাঠানো হত। এবং মাধ্যমকারী যাতে এ তথ্য পড়ে বুঝতে না পারে সেজন্য তথ্যকে এনক্রিপ্ট করে পাঠানো হত। আর প্রাপক একই উপায়ে একে ডিক্রিপ্ট করে তথ্য বুঝে নিতো। এনক্রিপশন কি? এটা বুঝার জন্য নিচের গল্পটি পড়ুন। আর যদি এতটুকুতেই বুঝে যান তাহলে এ অংশটুকু ছেঁড়ে যেতে পারেন। -সুবা আর সাদমান। খুব পছন্দ করতো সুবাকে। [নরমাল ঘটনা। আমিও বিস্তারিত

জীববিজ্ঞানে গণিতঃ এক্স, ওয়াই, জেড এবং ডবল ইউ

আমাদের দেহের গাঠনিক ও কার্যকরী একক হলো কোষ। এই কোষের মধ্যে রয়েছে নিউক্লিয়াস, নিউক্লিয়াসের মধ্যে রয়েছে ক্রোমোজোম। ধরা যাক আমাদের নিউক্লিয়াস হলো কোষের হেড অফিস। এখানে নানান তথ্য ফাইলের মধ্যে রাখা হয়েছে। ফাইলগুলো যদি জিন হয়, তাহলে কেবিনেটগুলো হলো ক্রোমোজোম। বিভিন্ন জীবের কোষীয় হেড অফিসে কেবিনেট অর্থাৎ ক্রোমোজোম সংখ্যা বিভিন্ন। গরুর ৬০, কুকুরের ৭৮ এবং মানুষের ৪৬ টা ক্রোমোজোম আছে। Ophiglossum নামের এক ফার্ন গাছের রয়েছে সবচেয়ে বেশি ক্রোমোজোম। কত ভাবেন তো? একশ? দেড়শ? জি না, ১২৬২! একটু আগেই যে বললাম মানুষের ৪৬ টা ক্রোমোজোম, এর মধ্যে ৪৪ টা হলো অটোজোম। এদের বহন করা তথ্যে জীবের লিংগ নির্ধারন সম্পর্কিত কোন বিস্তারিত

গোল গোল গোলক: গোলকের ভুবন [১]

কিছু গল্প কিছু অনুধাবনঃ   মানুষের চোখের যে অংশটা নড়াচড়া করে দেখতে সাহায্য করে সে অংশটাকে বাইরে থেকে দেখলে চ্যাপ্টা আকৃতির কিছু একটা বলে মনে হয়। আসলে এটি চ্যাপ্টা নয়, গোলক আকৃতির। এই অঙ্গটিকে বলা হয় অক্ষিগোলক, এটির বেশ খানিকটা অংশ ভেতরের দিকে গ্রোথিত থাকে বলে বাইরে থেকে দেখা যায় না। এই অক্ষিগোলক যদি গোল না হতো তাহলে আমাদেরকে দেখা সংক্রান্ত ব্যাপারে মারাত্মক সমস্যার মুখোমুখি হতে হতো। এটি গোলাকার বলেই চোখকে এপাশ-ওপাশ, উপর-নিচ করা যায়। অক্ষিগোলক যদি গোলাকার না হয়ে অন্য কোনো সরল আকৃতি যেমন ঘনক বা পিরামিডের মতো হতো তাহলে কী বিদঘুটে অবস্থার মাঝেই না পড়তে হতো। সাবলীলভাবে কিছুই বিস্তারিত

জীববিজ্ঞানে গণিতঃ মেন্ডেল ও মটরশুটি

আমাদের নৈসর্গিক এই মহাবিশ্বকে ব্যাখ্যা করার জন্য কিছু মৌলিক সূত্র রয়েছে, এই ধারনার সাথে আমরা সবাই অভ্যস্ত। আমরা নিজেরাই এই সূত্রগুলোর গাণিতিক প্রকাশ থেকে বিভিন্ন ঘটনা বা প্রকৃয়া যেমন একটা ফুটবলের গতিপথ, পারমাণবিক চুল্লীর চেইন রিঅ্যাকশন কিংবা মোবাইল ফোন থেকে টাওয়ারের সংকেতের আদান প্রদানে সিস্টেমের আচরনকে অনুমান করতে পারি। তবে জীববিজ্ঞানের ক্ষেত্রে এমনটা বলা কঠিন। পদার্থবিজ্ঞানে F=ma এর মত সার্বজনীন সূত্র জীববিজ্ঞানেও আছে কিনা তা আমরা এখনো জোর দিয়ে বলতে পারিনা। তবে দিন দিন এমন নজিরের সংখ্যা বাড়ছে যা ঐক্যবদ্ধ গাণিতিক নীতির কথা বলে। জীবনের পেছনে কি আসলেই কোন সুন্দর গাণিতিক গল্প রয়েছে? এই লেখায় জিনতত্বের সাথে জড়িত গণিতের সম্পর্কে বিস্তারিত